He estado investigando sobre las propiedades y la dinámica de los solitones (en particular, solitones en superfluidos) y varios trabajos y artículos mencionan el vínculo entre las soluciones solitónicas y la integrabilidad de la ecuación diferencial no lineal que describe el sistema físico. Sin embargo, descubrí que la explicación de qué implica exactamente que un sistema "sea integrable" y qué tiene que ver esto con las soluciones solitónicas suele ser bastante vaga o se explica en términos muy técnicos y matemáticos, con poco contenido físico. Por lo tanto, mi pregunta es doble:
a) ¿Es posible explicar en términos físicos qué significa que una ecuación diferencial y su sistema subyacente sean integrables? Por ejemplo, se dice que la ecuación 1D de Gross-Pitaevskii (que describe un condensado 1D de Bose-Einstein) es integrable.
b) ¿Cuál es el vínculo entre la integrabilidad de una ecuación diferencial no lineal y las soluciones solitónicas de esta ecuación? Me he encontrado con ecuaciones diferenciales no integrables que también permiten soluciones de ondas solitarias, pero ¿quizás estos no son "verdaderos solitones" en el sentido más estricto de la palabra?
a) Por lo general, cuando un físico dice que una ecuación diferencial es integrable (integrabilidad clásica), significa que la ecuación diferencial no lineal se puede representar en un problema lineal auxiliar (método de dispersión inversa). En este caso, la ecuación de Gross-Pitaevskii 1D (en algunos escenarios, generalmente se denomina ecuación de Schrödinger no lineal) se puede mapear en un problema lineal auxiliar, caracterizado por la matriz de transferencia con un parámetro espectral . La evolución temporal de la matriz de transferencia es relativamente fácil de obtener. Y la dinámica en el espacio real se puede obtener mapeando la matriz de transferencia evolucionada en el tiempo de regreso al espacio real (generalmente no es una tarea fácil). Entonces, la propiedad definitoria de los sistemas integrables sería que se puede obtener la evolución temporal de cualquier perfil inicial. Por supuesto, esto sugiere que para los sistemas integrables hay infinitas cargas conservadas, que pueden derivarse de la propiedad de la matriz de transferencia .
b) El solitón es un tipo de onda que no se dispersa mientras se propaga y se localiza. Si define así, algunos modelos no integrables también pueden albergar solitones, por ejemplo, torceduras en campo. Pero una definición más rigurosa es que la dispersión entre solitones es elástica, descartando todos los "solitones" en modelos no integrables. Los solitones en modelos integrables son soluciones localizadas que no se dispersan y se dispersan entre sí de manera elástica. Una observación es que no todos los modelos integrables tienen soluciones solitónicas. Por ejemplo, el modelo sinh-Gordon no tiene una solución solitónica, solo modos radiativos (que son dispersivos).
En el contexto de la física decimos que un sistema (Hamiltoniano) es integrable si puede, en principio, ser resuelto por cuadraturas como una ecuación de Hamilton-Jacobi completamente separable . Se puede demostrar que un sistema con grados de libertad es integrable si y solo si tiene cantidades conservadas independientes en la involución.
Para una teoría de campo, que tiene un número infinito de grados de libertad, se necesita un número infinito de cantidades conservadas para tener integrabilidad. Esto, por supuesto, significa que el sistema está infinitamente restringido y que un solitón tiene precisamente esa propiedad. En términos generales, para conservar su forma, los solitones (no topológicos) necesitan una restricción para cada punto en el espacio o, de manera equivalente, para cada uno de sus grados de libertad. Un ejemplo clásico que ilustra esto es la ecuación KdV que modela ondas no lineales en aguas poco profundas. Esta es una teoría de campo no lineal que admite soluciones de solitón. Al mismo tiempo es integrable y se demostró explícitamente que posee infinitas simetrías dando lugar a infinitas cantidades conservadas.
Hay muchos sistemas diferenciales parciales integrables que no tienen dispersión, también conocidos como de tipo hidrodinámico (es decir, se pueden escribir como sistemas cuasilineales homogéneos de primer orden; aparentemente, en el caso de más de tres variables independientes, los sistemas sin dispersión forman una abrumadora mayoría de todos los integrables conocidos). sistemas, consulte, por ejemplo, este artículo y las referencias que contiene) y no necesariamente tienen soluciones multisolitón, pero tienen algunos análogos de las mismas, soluciones multifásicas, cf., por ejemplo, aquí .