Practique la pregunta del examen AP Physics B sobre el impulso [cerrado]

Estoy tratando de revisar el impulso para el próximo examen AP. Tomaré el examen AP de Física C para Mecánica, pero estaba practicando con cualquier pregunta de respuesta libre que pude encontrar y encontré esta. Es de 1983, respuesta libre número 2. Dice:

Un bloque de masa$M$descansa sobre una superficie horizontal sin fricción y está unido, como se muestra arriba, a un resorte relajado de constante elástica$k$. Un segundo bloque de masa$2M$y velocidad inicial$v_0$choca y se pega al primer bloque. Desarrollar expresiones para las siguientes cantidades en términos de$M$,$k$, y$v_o$.

a.)$v$, la velocidad de los bloques inmediatamente después del impacto.

b.) x, la distancia máxima que se comprime el resorte.

Así que obtuve (a) con bastante facilidad, simplemente usando la conservación del impulso. Encontré el resultado de

$$v=\frac23 v_0$$

Para la parte b, comencé por encontrar el cambio en la energía cinética de los 2 bloques desde inmediatamente después del impacto hasta el punto en que su velocidad es cero como resultado del trabajo negativo que realiza el resorte sobre los bloques. encontre eso

$$K_i=\frac12(3M)\left[\frac23v_0\right]^2 = \frac23Mv_0^2$$ y eso $$K_f=0$$

Entonces comparé este cambio en$K$con el Trabajo realizado por el resorte y obtuve

$$-\frac23Mv_0^2 = \frac12kx_i^2 - \frac12kx_f^2 = \frac12kx_0^2 - \frac12k(x_0-x)^2$$ Luego traté de resolver esta ecuación para x, que es la distancia que se comprime el resorte, y encontré que $$x=\frac12*(x_0+sqrt({x_0^2+\frac43\left(\frac{Mv_0^2}k\right)})$$ de la fórmula cuadrática. Ahora, en teoría, realmente no veo nada de malo en esto, pero de acuerdo con las soluciones que encontré en línea, la gente ha estado equiparando el cambio en K con el cambio en el momento, y tienen esta ecuación: $$\frac23Mv_0^2 = \frac12kx^2$$ ¿Alguien puede explicar por qué esta ecuación sería verdadera o, en su defecto, dónde podría haberme equivocado en mi propio cálculo? Agradezco la ayuda.