Ecuación de aceleración lineal vs aceleración angular

Cometió un error al suponer que la aceleración angular ($\alpha$) es igual a$v^2/r$que en realidad es la aceleración centrípeta . En palabras simples, la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, que además es la tasa de cambio del ángulo$\theta$. Esto es muy similar a cómo se define la aceleración lineal.

Como la aceleración lineal es$F/m$, la aceleración angular es de hecho$\tau/I$,$\tau$siendo el par motor e I el momento de inercia (equivalente a la masa).

También estoy confundido sobre qué representa exactamente 'V' (velocidad tangencial) y cómo se usa. ¿Es un vector cuya magnitud es igual al número de radianes que debe rotar cualquier punto de un polígono?

La velocidad tangencial en el caso de un cuerpo que se mueve con velocidad constante en un círculo es igual a su velocidad normal. El nombre proviene del hecho de que esta velocidad es a lo largo de la tangente al círculo (la trayectoria del movimiento del cuerpo). Su magnitud es igual a la velocidad a la que se mueve a lo largo del círculo. Geométricamente se puede demostrar que$v = r\omega$.

$a_c = \frac{v^2}{r}$no es aceleración angular. Es la magnitud de la aceleración lineal hacia el centro de un objeto siguiendo una trayectoria circular a velocidad angular constante. La aceleración angular es la derivada de la velocidad angular, y el análogo de la segunda ley de Newton es que la aceleración angular es igual al par dividido por el momento de inercia.

Comience siempre con las unidades. Le dirán mucho sobre las ecuaciones y le permitirán corregir errores de consistencia. Por cierto, esta es la razón por la que prefiero la notación de Leibniz sobre la de Newton para las derivadas, las unidades se determinan inmediatamente examinando la derivada, por ejemplo$dx/dt$tiene unidades de distancia en el tiempo asumiendo la definición habitual de$x$y$t$.

En este caso, el ángulo,$\theta$, es el equivalente a la distancia recorrida en cinemática lineal, y tiene unidades de radianes (${rad}$). (Los radianes, al ser menos unidades, son hasta cierto punto un marcador de posición, pero los marcadores de posición pueden ser muy útiles, así que téngalos en cuenta). Entonces, la tasa de cambio del ángulo con respecto al tiempo,$\omega$, tiene las unidades de${rad}/s$. Aceleración angular,$\alpha$, entonces tendrá unidades de${rad}/s^2$.

Con eso en mente, puedes decir inmediatamente que$a_c = \frac{v^2}{r}$no es una aceleración angular, sino una aceleración lineal, como lo describe Peter . De manera similar, la aceleración angular no está directamente relacionada con la fuerza, sino con el par,$\tau = I \alpha$, dónde$I$es el momento de inercia. (Desde una perspectiva matemática, el momento de inercia es el segundo momento de la distribución de masa donde el centro de masa es el primer momento). El par tiene las unidades${kg}\ m^2/s^2$, donde se dejaron caer los radianes. Tenga en cuenta que tiene unidades de energía, o$(Force)(distance)$, y$\tau = r \times F$.

En cualquier curva de un solo parámetro en$\mathbb{R}^n$,$n\geq2$, la derivada con respecto a ese parámetro siempre es tangente a la curva. La derivada literalmente nos muestra cómo va a cambiar la posición. Desde una perspectiva física, puede pensar en esto como unir los vectores de velocidad y aceleración al objeto en movimiento, como si dibujara un diagrama de cuerpo libre.

Para ser concretos, para un movimiento circular uniforme, la posición es

dónde$R$es el radio del círculo,$\hat{i}$y$\hat{j}$son los vectores unitarios en el$x$y$y$direcciones, respectivamente, y la velocidad es

Tenga en cuenta que la velocidad es perpendicular a la posición, que es una propiedad del movimiento circular. A partir de esto, debería poder demostrar matemáticamente que la aceleración es perpendicular a la velocidad y antiparalela a la posición. Los dejaré con el problema de entender por qué esto también tiene sentido físicamente.