¿Componentes de la velocidad angular?

Dejar ω → = ( ω 1 , ω 2 , ω 3 ) Sea la velocidad angular de un cuerpo rígido con respecto al marco del cuerpo, donde el marco del cuerpo es ortonormal a la derecha.

He reunido 2 definiciones de ω → de diferentes fuentes y estoy confundido sobre cómo se conectan entre sí. Una es que el cuerpo rígido gira con ω → a través de su centro de masa a velocidad a b s ( ω → ) . La otra es que cada componente de ω → representa la velocidad a la que el cuerpo rígido gira alrededor de ese eje base particular del marco del cuerpo.

¿Significa esto que de alguna manera podemos sumar las 3 rotaciones (que son sobre ejes diferentes) y obtener una rotación equivalente sobre algún otro eje (único)?

Respuestas (1)

¿Significa esto que de alguna manera podemos sumar las 3 rotaciones (que son sobre ejes diferentes) y obtener una rotación equivalente sobre algún otro eje (único)?

Sí. Es una de las muchas consecuencias del teorema de rotación de Euler . Este pequeño truco ingenioso de encontrar el eje de rotación de Euler funciona en el espacio tridimensional, y solo en el espacio tridimensional. El grupo de Lie SO(3) es un espacio muy especial.

Una forma más genérica de ver la rotación es que la rotación en cualquier espacio euclidiano comprende combinaciones de rotaciones paralelas a un plano bidimensional en lugar de alrededor de un eje. Solo hay un plano en el espacio bidimensional, por lo que la rotación en el espacio 2D requiere solo un parámetro. Hay tres pares de planos de rotación en el espacio tridimensional (los planos YZ, ZX y XY), por lo que la rotación en el espacio 3D requiere tres parámetros. Puede pensar en esas rotaciones planas como si fueran sobre un eje (con una decisión arbitraria sobre lo que califica como rotación positiva o negativa). Hay seis planos de rotación en el espacio de cuatro dimensiones, por lo que las rotaciones en el espacio 4D requieren seis parámetros. Esto puede resultar en algo muy extraño, algo que no se ve en el espacio 2D o 3D, una rotación de Clifford.


Fuente: http://eusebeia.dyndns.org/4d/vis/10-rot-1

gracias. Lo que no entiendo es cómo se conectan los ángulos de Euler con w(t). Digamos w(t)=[w1(t),w2(t),w3(t)] y cada componente representa cómo cambia w(t) a lo largo de esa dirección (del eje base) y ciertamente NO nos informan sobre el rotación alrededor de esos ejes. Es decir, la rotación siempre es alrededor de w(t), que a su vez se está moviendo. Pero luego entran los ángulos de Euler y w ahora depende de otros 3 ángulos (a, b, c) que son en sí mismos algunas otras rotaciones (por lo tanto, también son funciones del tiempo). ¿Por qué entonces w(t) = w(a,b,c)? Conceptualmente me parecen completamente irrelevantes.
@MartinCheung Me temo que ninguna de estas respuestas es correcta. No estoy seguro de que las tres proyecciones de ω → significa que hay una rotación con ω X alrededor del eje X , con ω y alrededor del eje y , y con ω z alrededor del eje z .
@Sofia: tu comentario es completamente incorrecto, al menos en el espacio tridimensional. Uno puede ver las rotaciones en el espacio 3D como intrínsecas o extrínsecas. El punto de vista intrínseco conduce a ángulos de Euler, ángulos de Tait-Bryan, ángulos de Cardan y otros males. El punto de vista extrínseco también es malo, pero es un mal menor. Este punto de vista que resulta en ver la velocidad angular como un vector (mejor, un pseudovector), con distintos componentes en cada dirección ortogonal.
@MartinCheung: debe hacer las matemáticas para ver por qué esto funciona en el espacio 3D (y ciertamente lo hace). Los humanos pueden y construyen dispositivos que detectan esos componentes de la velocidad angular. No podríamos operar naves espaciales si esos dispositivos no existieran.
@DavidHammen: ¿Es cierto que realizar una rotación en un ángulo ω X alrededor del eje X , luego por un ángulo ω y alrededor del eje y , y luego por un ángulo ω z alrededor del eje z , obtenemos de hecho una rotación por | ω → | alrededor del eje ω → ? ¿Es eso cierto? Con los ángulos de Euler trabajamos de manera diferente y, que yo sepa, no se obtiene el mismo resultado si se realizan las rotaciones en un orden diferente.
@Sofia: estás preguntando sobre algo muy diferente aquí. Esta pregunta es sobre la velocidad angular, no sobre una secuencia de rotaciones en un espacio tridimensional. Las rotaciones en el espacio tridimensional no conmutan. La velocidad angular conmuta.
@DavidHammen ¡Hola! Será mejor que me digas primero ¿cómo estuvo tu día? Ayer fuiste presionado. A continuación, de hecho, parece que mezclo algo aquí. Para encontrar la rotación total multiplico las tres rotaciones, mientras que para la velocidad angular sumo las tres componentes. Pero, vamos a la física para mañana, es muy tarde en mi país. ¿Bien? ¿Cómo estuvo su día?
@Sofia: quizás sería mejor en el chat.
@DavidHammen, no, por favor, déjalo para mañana. Debería haber estado durmiendo durante un par de horas ya. Buenas noches.
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