¿Es obligatoria la aceleración centrípeta para el movimiento circular?

La partícula A está sujeta a la fuerza centrípeta.$F=m\omega r^2$exactamente lo mismo que la partícula B. En ambos casos, la pared proporciona la fuerza de reacción para mantener ambas partículas en movimiento circular uniforme.

No puede haber movimiento circular sin una fuerza centrípeta.

Permítanme intentar agregar una pieza intuitiva que falta en la explicación de la discusión sobre la respuesta de @Gert de por qué siempre debe haber una aceleración radial para cualquier movimiento circular.

Recuerda qué es la aceleración: Cambio de velocidad .$\vec a=d\vec v/dt$. Más matemáticamente, es un cambio en el vector de velocidad .

Si la velocidad cambia, ya sea la magnetidad o la dirección , entonces definimos esta tasa de cambio como aceleración .

• Si la magnetudidad de la velocidad cambia, entonces la aceleración apunta en la misma dirección que la velocidad (y va más rápido o más lento). A esto lo llamamos aceleración tangencial .
• Si se cambia la dirección de la velocidad , entonces la aceleración apunta hacia un lado y no paralela a la dirección de la velocidad. Si es exactamente perpendicular a la dirección, lo llamamos aceleración radial .

Ahora imagine lo que sucede si un objeto no tiene aceleración tangencial y solo radial. Luego mantiene su magnitud (por lo que la velocidad no cambia) y solo cambia de dirección. Pensando más en esto, debería quedar claro que tal situación es un movimiento circular . Si hay aceleración tangencial y radial, entonces tenemos un movimiento elíptico .

Naturalmente, para cualquier camino que no sea recto, debe haber un cambio en la dirección de la velocidad. Y a ese cambio lo llamamos aceleración : para un movimiento circular, esa aceleración resulta ser perpendicular y hacia el centro de la trayectoria circular.

Cualquier fuerza que actúe sobre una partícula en un movimiento circular debe dar como resultado tal aceleración lateral. Si no lo hacen, entonces el movimiento no puede ser circular debido a la explicación anterior.

Dada una partícula que se mueve uniformemente en una trayectoria circular$\vec r(t)$, sin pérdida de generalidad, podemos parametrizar el movimiento como:

$$r(t) = R \big( \vec e_x \cos(\omega t) + \vec e_y \sin(\omega t) \big),$$ dónde $\omega$es la velocidad angular del movimiento.

Usando el axioma de Newton$\vec F = m \vec a$podemos calcular la fuerza necesaria para que la partícula se mueva en ese camino (sin siquiera considerar qué podría causar esa fuerza):

$$\vec F(t) = m \partial_t^2 r(t) = - mR\omega^2 \big(\vec e_x \cos(\omega t) + \vec e_y \sin(\omega t) \big).$$ Como se puede ver fácilmente, esta fuerza está dirigida hacia el centro del círculo y tiene una magnitud $m R \omega^2 = \frac{mv^2}{R}$. Esto prueba que, de manera absolutamente general, para que un objeto se mueva uniformemente en una trayectoria circular, debe haber una fuerza centrípeta.

Incluso podemos generalizar este argumento a un camino general$\vec r(t)$. La fuerza todavía se dará$\vec F(t) = m \ddot{\vec r}(t)$. Usando una base dependiente del tiempo de la forma$\vec e_t = \frac{\dot{\vec r}}{\left|\dot{\vec r}\right|}$,$\vec e_n = \frac{\ddot{\vec r} - (\ddot{\vec r} \cdot \vec e_t) \vec e_t}{\left|\ddot{\vec r} - (\ddot{\vec r} \cdot \vec e_t) \vec e_t\right|}$y$\vec e_b = \vec e_t \times \vec e_n$(los vectores tangencial, normal y binormal) podemos escribir:

$$\vec F = \vec e_t F_t + \vec e_n F_n.$$ (Sin término con $\vec e_b$aparece como $\vec F \propto \ddot{\vec r}$y $\ddot{\vec r} \in \text{span}\{\vec e_t, \vec e_n \}$por construcción).

proposición $m\partial_t v = F_t$y$F_n = \frac{mv^2}{R}$(Notación:$\vec v = \dot{\vec r}$y$v = \left| \vec v \right|$como siempre,$R$es el radio de curvatura que es independiente de$v$).

Prueba: Por cálculo directo y usando las definiciones anteriores, se obtiene fácilmente:

$$m\partial_t \left| \dot{\vec r} \right| = m\partial_t \sqrt{\dot{\vec r} \cdot \dot{\vec r}} = m\frac{\ddot{\vec r} \cdot \dot{\vec r}}{\sqrt{\dot{\vec r} \cdot \dot{\vec r}}} = \vec F \cdot \vec e_t = F_t.$$ Primero simplificamos el término para $\vec e_n$usando la identidad $\vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b (\vec a \cdot \vec c) - \vec c (\vec a \cdot \vec b)$: $$\vec e_n = \frac{\ddot{\vec r} - (\ddot{\vec r} \cdot \vec e_t) \vec e_t}{\left|\ddot{\vec r} - (\ddot{\vec r} \cdot \vec e_t) \vec e_t\right|} = \frac{\ddot{\vec r} - \ddot{\vec r} (\vec e_t \cdot \vec e_t) + \vec e_t \times (\ddot{\vec r} \times \vec e_t)}{\left| \cdots \right|} = \frac{\vec e_t \times (\ddot{\vec r} \times \vec e_t)}{\left|\ddot{\vec r} \times \vec e_t\right|}$$ (Nota: $\left|\vec e_t \times (\vec e_t \times \ddot{\vec r})\right| = \left|\vec e_t \times \ddot{\vec r}\right|$porque $\vec e_t \perp \vec e_t \times \ddot{\vec r}$y $\left|\vec e_t\right| = 1$). Con esto llegamos a (usando $\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)$en el segundo paso): $$\begin{align*} F_n &= m \ddot{\vec r} \cdot \frac{\vec e_t \times (\ddot{\vec r} \times \vec e_t)}{\left|\ddot{\vec r} \times \vec e_t\right|} = m \frac{(\ddot{\vec r} \times \vec e_t)^2}{\left|\ddot{\vec r} \times \vec e_t\right|} = mv^2 \left|\frac{\ddot{\vec r} \times \vec e_t}{v^2}\right| = mv^2 \left|\frac{\ddot{\vec r} \times \dot{\vec r}}{v^3}\right|. \end{align*}$$ A partir de estos términos identificamos el radio de curvatura $R$como: $$R = \frac{v^3}{\left|\dot{\vec r} \times \ddot{\vec r}\right|}.$$ la prueba de que $R$es constante bajo cambios de parámetros $\vec r'(t) = (\vec r \circ f)(t)$(con una función arbitraria $f$, es decir es independiente de la velocidad y solo dependiente de la curva trazada por la trayectoria, formalmente esta independencia significa $R'(t) = R\big(f(t)\big)$) se deja como ejercicio para el lector. qed

En conclusión, esto dice que para cualquier movimiento a lo largo de una trayectoria en cualquier instancia podemos ver el movimiento como un movimiento circular acelerado a lo largo del círculo osculador de la trayectoria y solo las fuerzas tangenciales cambian la velocidad, mientras que las fuerzas normales actúan solo como fuerza centrípeta. cambiar la dirección de la velocidad. Entonces, para el movimiento a lo largo de cualquier camino, obtenemos que si el movimiento no es lineal, tendremos una fuerza centrípeta cuyos parámetros se relacionan con el círculo osculador.

Nota al margen: El análisis de la geometría de la trayectoria está estrechamente relacionado con los primeros pasos en la teoría de Frenet de la geometría diferencial de las curvas.