Aceleración centrípeta y centrífuga en una pista de atletismo (por ejemplo)

¿Por qué (con las fórmulas) la aceleración centrífuga debe coincidir exactamente con la aceleración centrípeta?

En un marco inercial, la fuerza centrípeta es simplemente el componente de la fuerza neta dirigida al centro de rotación.

Considere la cuerda clásica con una masa unida al final. Suponga que no hay gravedad, de modo que la única fuerza que actúa sobre la masa es la tensión$T$. Ahora bien, si la masa debe experimentar un movimiento circular en un círculo perfecto de radio fijo$r$, sabes que la fuerza neta dirigida hacia adentro (es decir, la fuerza centrípeta) es

Ahora imagina este objeto girando y cortas la cuerda. Hice una animación aquí: https://www.desmos.com/calculator/s8roerbvub . Al principio, el objeto vuela radialmente hacia afuera. Esto se debe simplemente a la inercia del objeto: continúa moviéndose con su velocidad dada.

Imagina que estás en un coche. Gire a la izquierda bruscamente. Aproximar el giro como perfectamente circular. Aunque termine girando a la izquierda, su cuerpo se siente como si "quisiera" ir a la derecha, hacia afuera. Después de todo, si te apoyas contra la puerta, sentirás que la puerta ejerce una fuerza sobre ti. La fuerza sería la fuerza normal, proporcionando la fuerza centrípeta necesaria para seguir en ese círculo (también la fricción, pero podemos ignorarla para este propósito). La conclusión es que$F_C = N$

Ahora, escojamos un marco de referencia no inercial donde no esté acelerando. Eso sería justo dentro de su coche. Como no estás acelerando, la fuerza neta debe ser cero. Pero la puerta te está empujando con algo de fuerza.$N$A la izquierda. Pero no estás acelerando en ese marco, por lo tanto, debe haber alguna otra fuerza para equilibrarlo, empujándote hacia la derecha. Esa "otra fuerza" es la fuerza centrífuga ficticia. Por la segunda ley de Newton, se obtiene que$F_{fictitious} = N$, pero sabes que$N=F_C$, lo que significa que su fuerza centrífuga ficticia es igual en magnitud (pero de dirección opuesta) a la fuerza centrípeta. Lo mismo ocurre con la aceleración.

Otra forma de verlo es pensar en la fuerza centrífuga como una fuerza real, pero actuando sobre el suelo, no sobre el corredor. Es parte de la componente horizontal de la fuerza que ejerce el corredor sobre la pista. El suelo reacciona con una fuerza centrípeta sobre el corredor, ya que existe suficiente fricción entre los zapatos y la pista.

La otra parte horizontal es la fuerza tangencial. Para el pie detrás del cuerpo, esa fuerza sobre el suelo es hacia atrás y la reacción del suelo acelera al corredor. Para el pie por delante del cuerpo, la fuerza sobre el suelo es hacia delante, y su reacción desacelera al atleta. Entonces puede hacer la curva manteniendo constante el módulo de velocidad.

Si está viendo el sistema desde un marco de referencia inercial (sin aceleración), entonces no hay fuerza centrífuga. La fuerza centrífuga no tiene nada que ver con el movimiento del sistema y todo que ver con el marco de referencia. Si está viendo el sistema desde un marco de referencia giratorio, tendrá que concluir una de dos cosas (no ambas):

1. Se rompe la segunda ley de Newton: las aceleraciones se ven afectadas por algo que no es una fuerza.
2. Se rompe la tercera ley de Newton: hay fuerzas presentes que no surgen de las interacciones.

La fuerza centrífuga es el resultado de esta última opción: es una pseudo-fuerza que no tiene "reacción igual pero opuesta".

Además, contrariamente a otras respuestas, no necesita ser igual a la fuerza centrípeta. Para empezar, ni siquiera hace falta que haya fuerza centrípeta para tener fuerza centrífuga porque, como decía antes, la fuerza centrífuga solo depende del marco de referencia. Pero incluso en el caso de un movimiento circular uniforme, la fuerza centrífuga solo es igual a la fuerza centrípeta en el caso de que el marco gire con el objeto experimentando un movimiento circular.

Y finalmente, la componente tangencial de la fuerza no es la fuerza centrífuga; es un componente real como lo es la fuerza centrípeta.