Encuentra vectores ortogonales en 4 dimensiones

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Encuentra vectores ortogonales en 4 dimensiones

vectores
Matemáticas
ortogonalidad
espacios vectoriales
productos internos

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Tengo $4$ vectores en $\mathbb{R}^4$ como el seguiente:

a_{1}, a_{2} \in R^{4} y a_{1} ⊥ a_{2}, b_{1}, b_{2} \in R^{4} y b_{1} ⊥ b_{2} .

$a_1, a_2 \in \mathbb{R}^4 \text{ and } a_1 \perp a_2, \\ b_1, b_2 \in \mathbb{R}^4 \text{ and } b_1 \perp b_2. \\$ La forma en que los he construido es, tomé vectores aleatorios en

R^{4}

$\mathbb{R}^4$ y ejecutó Gram-Schmidt en pares

(a_{1}, a_{2})

$(a_1, a_2)$ y

(b_{1}, b_{2})

$(b_1, b_2)$ . Ahora, quiero una situación en la que

a_{1} ⊥ b_{1}, a_{2} ⊥ b_{2} .

$a_1 \perp b_1, a_2 \perp b_2.$ Puedo usar Gram-Schmidt nuevamente en los pares

(a_{1}, b_{1})

$(a_1, b_1)$ y

(a_{2}, b_{2})

$(a_2, b_2)$ , pero luego pierdo la propiedad de que

(a_{1} ⊥ a_{2})

$(a_1 \perp a_2)$ y

(b_{1} ⊥ b_{2})

$(b_1 \perp b_2)$ . ¿Hay alguna manera de garantizar los desiderata mencionados anteriormente? Tenga en cuenta que podría ejecutar Gram-Schmidt en

(a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2})

$(a_1, a_2, b_1, b_2)$ encontrar

4

$4$ vectores ortogonales, pero eso no es lo que quiero. Tenga en cuenta que en mi especificación, no digo nada sobre los productos internos entre

a_{1}, b_{2}

$a_1, b_2$ o

a_{2}, b_{1}

$a_2, b_1$ . ¿Hay alguna forma de hacer esto? ¿O puedo probar que es imposible? ¡Gracias!

Semiclásico

Entonces, para ser claros, desea generar vectores tales que

a_{1} ⊥ b_{1} ⊥ b_{2} ⊥ a_{2} ⊥ a_{1}

$a_1\perp b_1 \perp b_2 \perp a_2 \perp a_1$ (sin más condiciones sobre los productos internos restantes)? (También tendría curiosidad en qué contexto te encuentras con esto. Me recuerda los cálculos que he visto con respecto a la llamada desigualdad CHSH en la mecánica cuántica).

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Tienes razón, esa es la condición que estoy buscando. Estaba buscando estos vectores en un escenario de criptografía. No sé cómo podrían estar relacionados con el juego CHSH. ¡Tu punto es bastante interesante!

I. Roperval

No sé si esto respondería a tu pregunta, pero dado

n - 1

$n-1$ vectores

a_{1}, \dots, a_{n - 1} \in R^{n}

$a_1, \dots, a_{n-1} \in \mathbb{R}^n$ siempre puedes encontrar un nuevo vector

a_{n}

$a_n$ ortogonal a

a_{j}

$a_j$ para

j = 1, \dots, n - 1

$j=1, \dots, n-1$ . Esto se puede probar generalizando el producto cruz en

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ y definiendo el

i

$i$ -ésima coordenada de

a_{n}

$a_n$ como

(- 1)^{i} det A_{i}

$(-1)^i \text{det} A_i$ , dónde

A_{i}

$A_i$ es el

(n - 1) \times (n - 1)

$(n-1) \times (n-1)$ matriz obtenida al eliminar la

i

$i$ -ésima fila de la

n \times (n - 1)

$n \times (n-1)$ matriz

A := (a_{1}, \dots, a_{n - 1})

$A := (a_1, \dots, a_{n-1})$ .

Semiclásico

Un punto de partida para mostrar que las versiones no ortogonales son posibles: simplemente tome

b_{2} = a_{1}

$b_2=a_1$ y

b_{1} = a_{2}

$b_1=a_2$ . Entonces la ortogonalidad de

a_{1}

$a_1$ y

a_{2}

$a_2$ asegura que todos los pares excepto

a_{1}, b_{2}

$a_1,b_2$ y

a_{2}, b_{1}

$a_2,b_1$ son ortogonales (porque, por supuesto, son paralelos).

Cuestionar todo

I. Roperval, en efecto, que me da un vector ortogonal a todos los demás. Lo que quiero es una condición más débil, donde permitimos que algunos pares no sean ortogonales. Semiclásico, ya veo, tienes razón. Entonces es posible...

Semiclásico

Para agregar un poco de contexto a la conexión cuántica: las correlaciones entre los dos pares de observables de Alice y Bob en la configuración de CHSH corresponden directamente a los productos internos entre vectores

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in R^{3}

$a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}^3$ . Una pregunta obvia es qué cuartetos de productos internos

(a_{1} \cdot b_{1}, a_{1} \cdot b_{2}, a_{2} \cdot b_{1}, a_{2} \cdot b_{2})

$(a_1\cdot b_1,a_1\cdot b_2,a_2\cdot b_1,a_2\cdot b_2)$ puede ser así generado. Pero en ese entorno, por lo general, uno no se preocupa por los dos productos restantes, por lo que la construcción "paralela" funciona bien (y, en particular, funciona en 3D).

Semiclásico

Para más detalles matemáticos, la palabra a buscar es probablemente "eliptopo". No conozco una gran fuente para eso, pero el libro de Deza y Laurent habla de eso con cierto detalle.

Cuestionar todo

¡Lindo! Verificaría la conexión CHSH y el objeto eliptope. Muchas gracias @Semiclassical.

Respuestas (2)

Encuentra vectores ortogonales en 4 dimensiones

Entonces, para ser claros, desea generar vectores tales que $a_1\perp b_1 \perp b_2 \perp a_2 \perp a_1$ (sin más condiciones sobre los productos internos restantes)? (También tendría curiosidad en qué contexto te encuentras con esto. Me recuerda los cálculos que he visto con respecto a la llamada desigualdad CHSH en la mecánica cuántica).
Tienes razón, esa es la condición que estoy buscando. Estaba buscando estos vectores en un escenario de criptografía. No sé cómo podrían estar relacionados con el juego CHSH. ¡Tu punto es bastante interesante!
No sé si esto respondería a tu pregunta, pero dado $n-1$ vectores $a_1, \dots, a_{n-1} \in \mathbb{R}^n$ siempre puedes encontrar un nuevo vector $a_n$ ortogonal a $a_j$ para $j=1, \dots, n-1$ . Esto se puede probar generalizando el producto cruz en $\mathbb{R}^n$ y definiendo el $i$ -ésima coordenada de $a_n$ como $(-1)^i \text{det} A_i$ , dónde $A_i$ es el $(n-1) \times (n-1)$ matriz obtenida al eliminar la $i$ -ésima fila de la $n \times (n-1)$ matriz $A := (a_1, \dots, a_{n-1})$ .
Un punto de partida para mostrar que las versiones no ortogonales son posibles: simplemente tome $b_2=a_1$ y $b_1=a_2$ . Entonces la ortogonalidad de $a_1$ y $a_2$ asegura que todos los pares excepto $a_1,b_2$ y $a_2,b_1$ son ortogonales (porque, por supuesto, son paralelos).
I. Roperval, en efecto, que me da un vector ortogonal a todos los demás. Lo que quiero es una condición más débil, donde permitimos que algunos pares no sean ortogonales. Semiclásico, ya veo, tienes razón. Entonces es posible...
Para agregar un poco de contexto a la conexión cuántica: las correlaciones entre los dos pares de observables de Alice y Bob en la configuración de CHSH corresponden directamente a los productos internos entre vectores $a_1,a_2,b_1,b_2\in\mathbb{R}^3$ . Una pregunta obvia es qué cuartetos de productos internos $(a_1\cdot b_1,a_1\cdot b_2,a_2\cdot b_1,a_2\cdot b_2)$ puede ser así generado. Pero en ese entorno, por lo general, uno no se preocupa por los dos productos restantes, por lo que la construcción "paralela" funciona bien (y, en particular, funciona en 3D).
Para más detalles matemáticos, la palabra a buscar es probablemente "eliptopo". No conozco una gran fuente para eso, pero el libro de Deza y Laurent habla de eso con cierto detalle.
¡Lindo! Verificaría la conexión CHSH y el objeto eliptope. Muchas gracias @Semiclassical.

Semiclásico · Answer 1

Aquí hay un ejemplo simple de dichos vectores, que aún logra mostrar todos los ángulos posibles entre los pares sin restricciones:

\begin{array}{rcl} a_{1} = {mi}_{1}, & a_{2} = {mi}_{3} porque α + {mi}_{4} pecado α, \\ b_{1} = {mi}_{3}, & b_{2} = {mi}_{1} porque β + {mi}_{2} pecado β, \end{array}

$\begin{eqnarray} &a_1 = e_1, & & a_2=e_3 \cos\alpha+e_4\sin\alpha,\\ & b_1 = e_3, & & b_2=e_1 \cos\beta+e_2\sin\beta, \end{eqnarray}$

Entonces de hecho $a_1\perp b_1\perp b_2\perp a_2\perp a_1$ , pero el ángulo entre $a_2,b_1$ es $\alpha$ y el ángulo entre $a_1,b_2$ es $\beta$ . (Por supuesto, este es un ejemplo muy simple, pero podemos aplicar una rotación arbitraria para crear un cuarteto 'aleatorio' con tales relaciones).

Finalmente, he entendido tanto tu respuesta como la de @lonza. Acepto el tuyo porque se publicó antes. ¡Muchas gracias chicos!
@leftarondabout Ahh, eso es realmente simple. Así que comenzamos con la base ortonormal estándar y aplicamos dos rotaciones de Givens independientes para lograr los ángulos deseados.
Hola, @Semiclassical, ¿puedes ayudarme con esto? math.stackexchange.com/q/4396103/585488

lonza leggiera · Answer 2

Si $\ x_1, x_2,x_3,x_4\$ son vectores independientes "aleatorios" en $\ \mathbb{R}^4\$ , y

\begin{aligned} y_{1} & = X_{1} \\ y_{2} & = X_{2} - \frac{⟨ X_{2}, y_{1} ⟩}{‖ y_{1} ‖^{2}} y_{1} \\ y_{3} & = X_{3} - \frac{⟨ X_{3}, y_{2} ⟩}{‖ y_{2} ‖^{2}} y_{2} \\ z_{3} & = y_{3} - \frac{⟨ y_{3}, y_{1} ⟩}{‖ y_{1} ‖^{2}} y_{1} \\ y_{4} & = X_{4} - \frac{⟨ X_{4}, z_{3} ⟩}{‖ z_{3} ‖^{2}} z_{3} - \frac{⟨ X_{4}, y_{1} ⟩}{‖ y_{1} ‖^{2}} y_{1}, \end{aligned}

$\begin{align} y_1&=x_1\\ y_2&=x_2-\frac{\langle x_ 2,y_1\rangle}{\|y_1\|^2}y_ 1\\ y_3&=x_3-\frac{\langle x_ 3,y_2\rangle}{\|y_2\|^2}y_ 2\\ z_3&=y_3-\frac{\langle y_ 3,y_1\rangle}{\|y_1\|^2}y_ 1\\ y_ 4&=x_4-\frac{\langle x_ 4,z_3\rangle}{\|z_3\|^2}z_3-\frac{\langle x_4,y_1\rangle}{\|y_1\|^2}y_ 1\ , \end{align}$ entonces

y_{1} ⊥ y_{2} ⊥ y_{3} ⊥ y_{4} ⊥ y_{1}

$\ y_1\perp y_2\perp y_3\perp y_4\perp y_1\$ . ¿Es eso lo que estás buscando?

Probando en Mathematica, esto parece verificarse en términos de productos internos. Sin embargo, hay una característica extraña. Dejar $\theta_{jk}$ sea el ángulo entre los vectores $y_j,y_k$ . Como se esperaba, $\theta_{12}=\theta_{23}=\theta_{34}=\theta_{14}=0$ dentro de la precisión numérica. Pero parece numéricamente como si $\theta_{24}$ se distribuye uniformemente en $(0,\pi)$ , mientras $\cos\theta_{13}$ se distribuye uniformemente en $(-1,1)$ . Esa es una asimetría interesante, presumiblemente debido a la naturaleza paso a paso de este proceso de Gram-Schmidt.
Interesante. ¿Cómo aleatorizaste la elección de los $\ x_i$ s. ¿Uniforme independiente sobre la esfera unitaria?
No, elegí los componentes como variables aleatorias normales estándar. Pero es bastante simple para mí normalizar estos vectores antes de continuar, así que déjame probarlo. Editar: los resultados preliminares sugieren que la normalización primero no cambia la distribución. Supongo que el punto es que el cambio de escala se absorbe en el cálculo de la $y_k$ y así no afecta nada.
Buena respuesta @lonzaleggiera, ¿podría ayudarme con el próximo caso? Si tengo 9 vectores de nueve dimensiones a1, a2, a3... b1, b2, b3... c1, c2, c3... donde estos tripletes son ortogonales entre sí y a1 \perp b1 \perp c1.... a2 \perp b2 \perp c2.... a3\perp b3 \perp c3. ¿Es esta construcción posible en principio? No me importa esforzarme...
Me equivoqué un poco en el comentario anterior, junto con los elementos de los tripletes (a1, a2, a3)... (b1, b2, b3) y (c1, c2, c3) sean ortogonales entre sí (por ejemplo: a1 \perp a2, a3 \perp a1 y b1 \perp b3 y así sucesivamente), también quiero que (a1, b1, c1), (a2, b2, c2) y (a3, b3, c3) sean ortogonales entre sí .. ¿Es posible?
Dado que parece tener un problema específico en mente, otra pregunta podría ser apropiada... @QuestionEverything
De acuerdo, @Semiclassical, eso podría ser mejor. ¡Gracias!
Aquí está la nueva pregunta según su sugerencia @Semiclassical: math.stackexchange.com/questions/4224461/…

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¿Dos vectores complejos distintos de cero que son perpendiculares pero NO ortogonales?

producto interno y producto escalar hermitiano

Único u∧vu∧vu\cuña v tal que (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\cuña v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} para todos los w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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