Fuerza normal para una bicicleta en una pendiente

Question

Fuerza normal para una bicicleta en una pendiente

Lincoln77

Entonces, en general, sé cómo encontrar la fuerza normal para un objeto en una pendiente, pero este es un poco más difícil, ya que la bicicleta esencialmente tiene dos fuerzas normales así:

dónde $L$ es la longitud de la distancia entre ejes y $h$ es la distancia al centro de gravedad.

La idea es encontrar cuál es el ángulo máximo de la pendiente antes de que la gravedad supere la fricción entre las llantas y el camino, y supuestamente, en este caso límite, $F=\mu N_{2}$ . No estoy muy seguro de cómo averiguar qué $N_{2}$ es.

Como referencia, aquí está la solución trabajada (y sin explicación):

No te preocupes tanto por la respuesta numérica justo al final, él solo subtituló los valores, estoy más interesado en la derivación.

no entiendo donde $\frac{h}{L}\sin(\theta)+ \frac{1}{2}\cos(\theta)$ vino y tampoco entiendo por qué estaban usando torques? Básicamente no entiendo nada de eso.

rmhleo

Si escribes la 2da Ley de Newton para las componentes x y para las componentes y de las fuerzas, entonces tendrás un sistema de ecuaciones a partir del cual obtendrás esas relaciones.

Lincoln77

yo obtengo

m g c o s (θ) = N_{1} + N_{1}

$mgcos(\theta)=N_{1}+N_{1}$ y

m g s i n (θ) = μ N_{2}

$mgsin(\theta) = \mu N_{2}$ . aun no veo donde

\frac{h}{L}

$\frac{h}{L}$ ¿vino de?

rmhleo

Si lo veo. Tampoco estoy seguro de por qué N1 y N2 no se toman como iguales, ya que el centro de masa está en el centro geométrico.

Steven

N_{1}

$N_1$ y

N_{2}

$N_2$ no tienen que ser iguales incluso si están colocados simétricamente alrededor del centro de masa. Si la bicicleta estuviera parada verticalmente sobre una rueda, seguiría siendo simétrica, pero la rueda inferior sentiría toda la fuerza normal y la otra rueda ninguna. El truco en esta pregunta es evitar lo desconocido.

N_{1}

$N_1$ - es por eso que usan el balance de torque en lugar de solo la ley de Newton varias veces. Vea la respuesta a continuación.

rmhleo

Sí, el caso que pones es el único caso en el que esto es posible, e implica pararse en una rueda. Si hay dos puntos de apoyo, definitivamente comparten la carga, a menos que haya alguna asimetría en la distribución del peso.

Steven

Ajá, veo tu punto @rmhleo. En ese caso, no hay razón para usar el balance de torque en lugar de solo la ley de Newton una vez más.

Juan Alexiou

El equilibrio de fuerzas más el equilibrio de pares hace que el sistema esté en equilibrio (al menos con velocidad constante).

Respuestas (1)

Fuerza normal para una bicicleta en una pendiente

Si escribes la 2da Ley de Newton para las componentes x y para las componentes y de las fuerzas, entonces tendrás un sistema de ecuaciones a partir del cual obtendrás esas relaciones.
yo obtengo $mgcos(\theta)=N_{1}+N_{1}$ y $mgsin(\theta) = \mu N_{2}$ . aun no veo donde $\frac{h}{L}$ ¿vino de?
Si lo veo. Tampoco estoy seguro de por qué N1 y N2 no se toman como iguales, ya que el centro de masa está en el centro geométrico.
$N_1$ y $N_2$ no tienen que ser iguales incluso si están colocados simétricamente alrededor del centro de masa. Si la bicicleta estuviera parada verticalmente sobre una rueda, seguiría siendo simétrica, pero la rueda inferior sentiría toda la fuerza normal y la otra rueda ninguna. El truco en esta pregunta es evitar lo desconocido. $N_1$ - es por eso que usan el balance de torque en lugar de solo la ley de Newton varias veces. Vea la respuesta a continuación.
Sí, el caso que pones es el único caso en el que esto es posible, e implica pararse en una rueda. Si hay dos puntos de apoyo, definitivamente comparten la carga, a menos que haya alguna asimetría en la distribución del peso.
Ajá, veo tu punto @rmhleo. En ese caso, no hay razón para usar el balance de torque en lugar de solo la ley de Newton una vez más.
El equilibrio de fuerzas más el equilibrio de pares hace que el sistema esté en equilibrio (al menos con velocidad constante).

Steven · Answer 1

¿Por qué usar torques? Porque tienes tres incógnitas, $\theta$ , $F$ y $N_2$ y eso requiere tres ecuaciones. Tu también tienes $N_1$ como desconocido, ¡pero al usar torques puedes deshacerte de eso! Primero haría la parte del torque (la segunda mitad de la respuesta), luego la ley de Newton y luego la fórmula del modelo de fricción (la primera mitad).

Encuentre la fuerza normal $N_2$ haciendo el balance de torque alrededor del punto A (ahora $N_1$ así como la fricción $F$ no importa):
$\sum τ = 0 \Leftrightarrow τ_{{norte}_{2}} - τ_{w_{X}} - τ_{w_{y}} = 0 \Leftrightarrow {norte}_{2} L - w_{X} h - w_{y} \frac{L}{2} = 0 \Leftrightarrow {norte}_{2} L - metro gramo pecado (θ) h - metro gramo porque (θ) \frac{L}{2} = 0 \Leftrightarrow {norte}_{2} L = metro gramo (pecado (θ) h + porque (θ) \frac{L}{2}) \Leftrightarrow {norte}_{2} = metro gramo (pecado (θ) \frac{h}{L} + porque (θ) \frac{1}{2})$ $\sum \tau = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \tau_{N_2}-\tau_{w_x}-\tau_{w_y}= 0 \quad\Leftrightarrow\quad N_2L-w_xh-w_y\frac{L}{2}= 0 \quad\Leftrightarrow\quad\\ N_2L-mg\sin(\theta)h-mg\cos(\theta)\frac{L}{2}= 0 \quad\Leftrightarrow\quad N_2L=mg\left(\sin(\theta)h+\cos(\theta)\frac{L}{2}\right) \quad\Leftrightarrow\quad\\ N_2=mg\left(\sin(\theta)\frac{h}{L}+\cos(\theta)\frac{1}{2}\right)$
Encuentra la fricción $F$ con la 1ra ley de Newton a lo largo de la pendiente:
$\sum F_{X} = 0 \Leftrightarrow F - w_{X} = 0 \Leftrightarrow F - metro gramo pecado (θ) = 0 \Leftrightarrow F = metro gramo pecado (θ)$ $\sum F_x=0 \quad\Leftrightarrow\quad F-w_x=0 \quad\Leftrightarrow\quad F-mg\sin(\theta)=0 \quad\Leftrightarrow\quad F=mg\sin(\theta)$
y ahora encuentra el angulo critico $\theta$ del modelo de fricción:
$F = m {norte}_{2} \Leftrightarrow metro gramo pecado (θ) = m metro gramo (pecado (θ) \frac{h}{L} + porque (θ) \frac{1}{2}) \Leftrightarrow pecado (θ) = m pecado (θ) \frac{h}{L} + porque (θ) \frac{m}{2} \Leftrightarrow pecado (θ) (1 - m \frac{h}{L}) = porque (θ) \frac{m}{2} \Leftrightarrow broncearse (θ) (1 - m \frac{h}{L}) = \frac{m}{2} \Leftrightarrow broncearse (θ) = \frac{m}{2 (1 - m \frac{h}{L})} \Leftrightarrow broncearse (θ) = \frac{L m}{2 (L - m h)} \Leftrightarrow θ = arcán (\frac{L m}{2 (L - m h)})$ $F=\mu N_2 \quad\Leftrightarrow\quad\\ mg\sin(\theta)=\mu mg\left(\sin(\theta)\frac{h}{L}+\cos(\theta)\frac{1}{2}\right) \quad\Leftrightarrow\quad\\ \sin(\theta)=\mu \sin(\theta)\frac{h}{L}+ \cos(\theta)\frac{\mu}{2} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \sin(\theta)\left(1-\mu\frac{h}{L}\right)= \cos(\theta)\frac{\mu}{2} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \tan(\theta)\left(1-\mu \frac{h}{L}\right)=\frac{\mu}{2} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \tan(\theta)=\frac{\mu}{2\left(1-\mu \frac{h}{L}\right)} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \tan(\theta)=\frac{L\mu}{2\left(L-\mu h\right)} \quad\Leftrightarrow\quad\\ \theta=\arctan\left(\frac{L\mu}{2\left(L-\mu h\right)}\right)$

$N_1$ nunca se presenta. Es por eso que se usa el balance de torque. Por supuesto, también se podría usar la ley de Newton en las direcciones y y x, pero podría no ser suficiente porque introducirían esta cuarta incógnita. $N_1$ . Entonces, de todos modos, necesitaría una cuarta ecuación como el balance de torque.

Eso es todo. Solo comentaría que la suposición implícita utilizada de que la fricción está relacionada solo con N2 (solo hay fricción en la rueda trasera) no es evidente y está en desacuerdo con establecer el centro de masa en el centro geométrico.
@rmhleo Cierto. Creo que se supone que los frenos se aplican en la rueda trasera mientras que la rueda delantera puede girar libremente (por lo que no hay fricción). De lo contrario, estarían presentes dos fricciones a lo largo de la pendiente, $F_1=\mu N_1$ y $F_2=\mu N_2$ .
hola, gracias chicos, esto es realmente útil :) aunque todavía no entiendo cómo llegaron a broncearse al final
@Lincoln77 Tienen $\tan$ de la relación: $\frac{m}{2} porque θ = pecado θ (1 - m \frac{h}{L}),$ $\dfrac{\mu}2\cos\theta=\sin\theta\left(1-\mu\dfrac hL\right),$ dividiendo ambos lados por $\cos \theta$ y $1-\mu\dfrac hL$ .
@ Lincoln77, ahora he agregado el álgebra restante. Es simplemente reorganizar matemáticamente y usar la correlación: $broncearse (θ) = \frac{pecado (θ)}{porque (θ)}$ $\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ Todas las expresiones que ve en la respuesta dada se pueden encontrar en algún lugar de mi respuesta anterior. Tal vez hicieron todo el cálculo en otro orden, pero el resultado y, por lo tanto, las expresiones finales para los diferentes términos al final son todos iguales.
Ah, sí, lo intenté anoche, pero debo haber cometido un error estúpido en alguna parte, ¡gracias!

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