¿Qué le sucederá a una pelota que se mantiene en un plano inclinado sin fricción?

...el par ejercido por$N$es cero pero el par ejercido por$mg$es distinto de cero. Esto significa que la pelota debe rodar...

En realidad, significa que el momento angular alrededor de ese eje debe aumentar. Eso no es lo mismo que rodar. Si el eje pasa por el centro de masa del objeto, entonces la única forma de que aumente el momento angular es rodando. Sin embargo, si el eje no pasa por el centro de masa, también existe un momento angular debido al movimiento lineal. En otras situaciones, esta es la diferencia entre el momento angular orbital y el momento angular de giro. Así que calculemos el momento angular "orbital" en este problema.

el par es$m g R \sin(\theta)$dónde$R$es el radio de la bola y$\theta$es el ángulo de la pendiente.

La magnitud del momento angular "orbital" está dada por$R m v$dónde$v$es la velocidad lineal del centro de masa, por lo que su derivada temporal es$R m a$dónde$a$es la aceleración lineal del centro de masa.

De las leyes de Newton, la aceleración lineal es el componente de la gravedad que está cuesta abajo. Esto es$ma=mg \sin(\theta)$entonces$a=g \sin(\theta)$.

Sustituyendo la aceleración lineal en la derivada temporal del momento angular orbital da$R m g \sin(\theta)$que es igual al par. Esto significa que el aumento del momento angular debido al momento de torsión se explica por completo por el aumento del momento angular "orbital" y no queda ningún momento de torsión sobrante para aumentar el momento angular de "giro". Por lo tanto, la pelota no gira/rueda independientemente del eje que examine.

Entonces, ¿qué le sucederá exactamente a una pelota mantenida en un plano inclinado sin fricción? ¿Se deslizará o rodará?

Sin fricción significa que la superficie de la pendiente no puede ejercer ningún par de torsión sobre la bola. Por la segunda ley de Newton, eso significa que el estado de rotación de la pelota permanece inalterado, específicamente:

• si la pelota gira con velocidad angular$\omega$entonces simplemente continuará haciéndolo:$\frac{\text{d}\omega}{\text{d}t}=0$.
• si la pelota no estuviera girando en absoluto ($\omega=0$) entonces deslizarse hacia abajo por la pendiente sin fricción no alterará$\omega$. De nuevo$\frac{\text{d}\omega}{\text{d}t}=0$.

Para que ocurra cualquier cambio en el estado rotacional, un torque$\tau$necesita actuar sobre la pelota, de modo que:

pero con$\mu=0$,$\tau$es siempre$0$.

Para ver qué pasó, veamos las ecuaciones de movimiento:

caso I: La bola rueda sin resbalar:

tienes tres ecuaciones para tres incógnitas$\ddot{s}\,,\ddot{\varphi}\,,F_c$

tu obtienes:

caso II: la bola se desliza:

Este es tu caso, porque no tienes la fuerza de contacto$F_c$.

en este caso la fuerza de contacto$F_c$es igual a cero.

caso III: La bola está rodando:

en lugar de la ecuación (3) ahora tienes la ecuación para una fuerza de fricción

tu obtienes:

Así que si$\mu=0$la pelota se desliza este es el caso II

La pelota se deslizará. Tu error fue elegir un 'eje de aceleración' (El punto de contacto por el que pasa el eje está acelerando). Tenga en cuenta que solo puede formar una ecuación de torque sobre el eje que está estacionario o se traslada con velocidad constante.

La belleza del centro de masa es que la ecuación de torque se puede aplicar a un eje que pasa por COM independientemente de si ese eje está acelerando o no. (Es por eso que COM es la opción más popular para aplicar la ecuación de torque). Esta propiedad solo es cierta para el centro de masa. (Deberías intentar probarlo)

Para obtener las ecuaciones correctas, debe aplicar pseudofuerzas en todas las partículas del cuerpo rígido (¡pruébelo!). Luego debe encontrar el torque debido a la pseudo fuerza aplicada (lo llamo 'pseudo-torque').

Es muy fácil demostrar (les dejaré este ejercicio como ejercicio) que el momento de torsión debido a todas las pseudofuerzas se puede obtener considerando la pseudofuerza que actúa sola en el centro de masa del cuerpo rígido.

EDITAR: Significado del eje de aceleración: imagine partículas en el cuerpo rígido a través del cual perfora el eje de rotación. Entonces las partículas del cuerpo rígido a través del cual pasa su eje pueden acelerar llevándose consigo al eje.

La aceleración del eje es la misma que la de las partículas a través de las cuales atraviesa el eje.

Imagínese sentado en el eje en movimiento (más precisamente, adjunte un marco de traslación al eje en movimiento), una propiedad sorprendente del cuerpo rígido es que observará que todo el cuerpo gira alrededor de ese eje y la velocidad angular de rotación será la misma para todo el conjunto de puntos a través de los cuales eligió perforar su eje de rotación.

Creo que gran parte de la confusión proviene de la falsa noción de que un momento [o torque, uso estas palabras como sinónimos, compare Momento (Física) ] podría tener un eje o un lugar. En la mecánica clásica, dicho par está asociado con cualquier cuerpo rígido, en lugar de con un lugar específico en ese cuerpo.

método estricto

Por lo general, liberaría el cuerpo rígido de su entorno, introduciendo así fuerzas de borde que actúan sobre él, además de cualquier fuerza de volumen que resulte de un campo de fuerza como la gravedad y posibles pares que se aplican externamente.

Luego, para determinar el cambio de movimiento del cuerpo, separaría las fuerzas de los momentos de torsión desplazando las fuerzas perpendiculares a su línea de efecto, de modo que todas ellas finalmente afecten el centro de masa (CoM) del cuerpo. Para cada fuerza desplazada, deberá introducir un par de desplazamiento de compensación: mientras que mover una fuerza a lo largo de su línea de efecto no tiene implicaciones físicas, moverla de otra manera sí.

Una vez que haya terminado de desplazar todas las fuerzas del CoM del cuerpo, sumará todas las fuerzas para obtener la fuerza total que actúa sobre el CoM del cuerpo. De la misma manera, sumará todos los pares de desplazamiento y cualquier par que se aplique externamente, y el resultado será el par total que afecta al cuerpo. Puede indicar su torque con una flecha circular en cualquier parte de su diagrama, no importa dónde lo coloque.

Aplicando esto a tu ejemplo, ya has terminado con el primer diagrama: todas las líneas de efecto de las fuerzas se cruzan en el centro de la pelota. No hay nada que hacer, y el par es cero. La pelota se deslizará.

Intuición

Es contrario a la intuición aceptar que una cantidad de torsión aplicada en un lugar debería tener el mismo efecto en un cuerpo rígido que la misma cantidad de torsión aplicada en otro lugar del mismo cuerpo: la intuición dicta que el cuerpo debe comenzar a girar alrededor del mismo cuerpo. eje donde se aplica el torque.

Sin embargo, esto solo es cierto si dicho eje está en el CoM del cuerpo. Un cuerpo siempre y solo rotará alrededor de su CoM si no se le aplica ninguna otra fuerza.

Piense en una rueda con un eje que no está en el medio, pero, digamos, ligeramente desviado. Si suspende este eje en un marco fijo y rígido y luego aplica un par, la rueda definitivamente comenzará a girar alrededor del eje y el CoM de la rueda también girará alrededor del eje. Sin embargo, su suspensión en consecuencia experimentará y ejercerá una fuerza sobre el eje, girando a la misma velocidad que la rueda. Esto se llama excentricidad. Ahora imagina soltar la rueda de repente. Continuará moviéndose con la velocidad momentánea de su CoM y seguirá girando alrededor de su CoM, que no está en el eje. Por lo tanto, tendrá una rueda voladora, generalmente en una curva parabólica y su eje girará alrededor de su CoM. Tenga en cuenta que la rueda ya no girará alrededor de dicho eje, porque sin la suspensión,

Varias personas han sugerido que el punto de contacto actuará como un eje. No veo cómo es este el caso, ya que no está restringido de ninguna manera. Por ejemplo, el eje de la rueda está restringido al estar unido a un automóvil o bicicleta, por lo tanto, si empuja la llanta, esa fuerza gira alrededor del eje. Si empujo a una persona (de pie sobre suelo normal) cerca de su centro de gravedad, los pies de esa persona están restringidos por la fricción y girará alrededor de ellos, se inclinará o incluso se caerá.

El punto de contacto entre la bola y la superficie no está restringido ni por una barra que lo atraviese ni por la fricción, por lo que no es más probable que actúe como un eje que cualquier otro punto. Volviendo a mi analogía de empujar a una persona, es como si estuviera usando patines de hielo y lo empujo en la dirección en la que apuntan: no se caerá, se deslizará.

No puedo publicar comentarios, así que lo pongo aquí.

Haz rodar un coche de juguete por una superficie, en cualquier ángulo, y las ruedas giran. Eso es porque la fricción aplica una fuerza en el punto de contacto entre las ruedas y la superficie.

Ahora muévelo paralelo a la superficie, a unos pocos cm de distancia. Las ruedas no giran porque no hay fuerza en el punto de contacto. La razón por la que no hay fuerza es porque no hay fricción (en este caso porque no se toca), en una superficie sin fricción no habría fricción incluso si la estuvieras tocando porque, bueno, no hay fricción.

Los pares y el momento angular del sistema deben medirse en relación con algún origen. Si el centro de masa del sistema no está acelerando en relación con un marco de inercia, ese origen puede ser cualquier punto. Sin embargo, si está acelerando, entonces debe ser el COM. Entonces, asumir un eje en el punto de contacto no es correcto.

Y la pelota definitivamente se deslizará..

La pelota rodará. El centro de masa de la pelota no está verticalmente por encima del punto de contacto, por lo que no hay nada que impida que caiga verticalmente.

Las dos conclusiones que menciona no son contradictorias, simplemente ha entendido mal sus implicaciones.

No hay momento de giro alrededor del centro de la pelota.

Hay un momento de inflexión en el punto de contacto. Eso hará que la bola gire sobre el punto de contacto, cuyo efecto es hacer que la bola gire también sobre su centro de masa.

No tiene sentido decir que se requiere fricción para que ocurra un momento de giro. Suponga que reemplaza la pelota con un lápiz que se inclina normalmente hacia la pendiente. El lápiz no se deslizará por la rampa, inclinándose todo el tiempo, se caerá y luego se deslizará. El vuelco se produce como consecuencia del momento de giro alrededor del punto de contacto.

Para presionar el punto, considere un lápiz inclinado sobre una superficie plana sin fricción. El lápiz, por supuesto, girará y se caerá. La ausencia de fricción facilita más que dificulta la rotación.

La razón por la que son frecuentes las caídas sobre el hielo es precisamente que la ausencia de rozamiento hace imposible contrarrestar el momento de giro en torno al punto de contacto con el suelo si no se permanece lo suficientemente erguido. El efecto es peor en una superficie helada inclinada que en una plana.