Cálculo de la trayectoria de una bola con giro moviéndose a través de una mesa

Un solo parámetro no será suficiente para capturar el efecto que buscas. Piense en un disco giratorio, que tendrá un área de contacto extendida en forma de círculo. El movimiento de cualquier punto del disco se puede descomponer en una velocidad$v_\parallel$en la dirección del movimiento a granel, y una velocidad ortogonal$v_\perp$. Si la fricción fuera independiente de la velocidad, entonces$v_\parallel$y$v_\perp$se reducirá a la misma velocidad en todas partes, lo que conducirá a una desaceleración neta tanto del movimiento masivo como del giro, pero no dará como resultado ninguna redirección del movimiento masivo.

La razón por la que las trayectorias de los objetos giratorios se redireccionan es que experimentan fuerzas de fricción/arrastre asimétricas a medida que las diferentes partes se mueven a diferentes velocidades relativas en el entorno fijo. En otras palabras,$\dot{v}_\perp$no promedia a$0$sobre el área de contacto.

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Para colocar la estructura, suponga que el disco tiene una velocidad lineal a granel$v_\mathrm{lin}$, una frecuencia angular$\omega$, y una dirección de viaje$\theta$medido en el sentido habitual con respecto a un$xy$-rejilla en la superficie (presumiblemente inercial). Etiquete puntos en el disco con una distancia$r$del centro y un ángulo$\phi$medida con respecto al mismo$xy$-red.

Con estas definiciones es fácil ver (sobre todo si haces un croquis) que

$$\begin{align} v_\parallel & = v_\mathrm{lin} - r\omega \sin(\phi-\theta) \\ v_\perp & = r\omega \cos(\phi-\theta). \end{align}$$ Estos componentes tienen direcciones $$\begin{align} \hat{v}_\parallel & = \cos(\theta) \hat{x} + \sin(\theta) \hat{y} \\ \hat{v}_\perp & = -\sin(\theta) \hat{x} + \cos(\theta) \hat{y}, \end{align}$$ y entonces la velocidad total es $$\vec{v} = v_\parallel \hat{v}_\parallel + v_\perp \hat{v}_\perp.$$ Dejar $$v = \sqrt{v_\parallel^2 + v_\perp^2}$$ ser la velocidad y definir $\hat{v} = \vec{v} / \lvert \vec{v} \rvert = \vec{v}/v$.

El objeto es un cuerpo rígido, por lo que podemos integrar fuerzas sobre toda el área de contacto para encontrar los resultados netos. (Sin rigidez, cada punto tendría su propia dinámica acoplada a la de sus vecinos, lo que generaría un problema mucho más complicado).$f(v)$Sea la magnitud de la fuerza de fricción por unidad de área en función de la velocidad relativa. La dirección será simplemente$-\hat{v}$, ya que la fricción solo puede funcionar exactamente en dirección opuesta a la dirección del movimiento en un punto. Entonces la fuerza total sobre el disco$D$es

$$\vec{F} = - \int\limits_D f(v) \hat{v} \ \mathrm{d}A.$$ Al mismo tiempo, existirá un par por unidad de área dado por $-f(v) \vec{r} \times \hat{v}$, dónde $\vec{r}$es el vector con magnitud $r$apuntando en la dirección $\phi$. El par neto en el disco será $$\vec{\tau} = -\int\limits_D f(v) \vec{r} \times \hat{v} \ \mathrm{d}A.$$

Finalmente, podemos conectar las fuerzas con el cambio en las variables de interés. la velocidad lineal

$$\vec{v}_\mathrm{lin} = v_\mathrm{lin} \left(\cos(\theta) \hat{x} + \sin(\theta) \hat{y}\right)$$ evolucionará según $$\dot{\vec{v}}_\mathrm{lin} = \frac{1}{m} \vec{F},$$ dónde $m$es la masa del disco. El disco también girará hacia abajo según $$\dot{\omega} = \frac{1}{I} \tau,$$ dónde $I$es el momento de inercia y $\tau = \lvert \vec{\tau} \rvert$.

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Como puede ver, esto puede ser complicado en general. Incluso algunas formas bastante simples para$f(v)$conducir a ecuaciones intratables si desea soluciones analíticas. Mi recomendación es simplemente evolucionar numéricamente el sistema bajo la guía de las ecuaciones dadas.

El hecho de que la pregunta original fuera para una pelota en lugar de un disco cambia poco. La pelota debe tener un área de contacto que no desaparezca si se va a curvar. El único truco es recordar usar las fórmulas adecuadas para$m$y$I$, y posiblemente para introducir$r$-dependencia en$f$para tener en cuenta el peso desigual por unidad de área sobre la superficie de contacto.