Derivada covariante de un tensor covariante con superíndice

No. El subíndice es lo definido. Si tienes el superíndice, simplemente asumes el aumento con el tensor métrico, entonces:

$$\nabla^{\mu}R_{\mu\nu} \equiv g^{\mu\alpha}\nabla_{\alpha}R_{\mu\nu}$$

que se expande normalmente con derivadas parciales y Christoffels. Por supuesto, ya que sabemos que$\nabla^{a}\left(R_{ab} - \frac{1}{2}Rg_{ab} \right)= 0$, sabemos de inmediato que podemos simplificar$\nabla^{\mu}R_{\mu\nu}$a$\frac{1}{2}\nabla_{\nu}R$

A partir de tus comentarios, intentaré responder a lo que te confunde. Tomemos una firma métrica:

$$\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$$ y consideremos algunos generales $x^\mu$. Denotaremos la componente temporal de $x^\mu$por $x^0$. Si queremos bajar el índice de $x^0$, obtenemos: $$x^0 = \eta^{0 \mu} x_\mu = \eta^{0 0} x_0 + \eta^{0 1} x_1 + \eta^{0 2} x_2 + \eta^{0 3} x_3 \tag{1}$$ Desde $\eta^{0 0} = -1$y $\eta^{0 1} = \eta^{0 2} = \eta^{0 3} = 0$, ecuación $(1)$se convierte en: $$x^0 = - x_0$$ y así obtenemos el signo menos.

Tenga en cuenta que si solo consideramos el componente espacial$x^i$(dónde$i$es el$1$st, el$2$nd o el$3$rd componente), luego bajamos el índice nuevamente como:

$$x^i = \eta^{i \mu} x_\mu = \eta^{i0} x_0 + \eta^{i1} x_1 + \eta^{i2} x_2 + \eta^{i3} x_3 = x_i$$ y así no obtenemos un signo menos.