Distancia máxima en un universo estático cerrado

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Distancia máxima en un universo estático cerrado

Cham

Estoy confundido acerca de un detalle en la cosmología. Considere un universo cerrado estático , de la siguiente métrica (considere $a$ como una constante simple con unidades de longitud):

\begin{matrix} (1) & d s^{2} = d t^{2} - a^{2} (d x^{2} + {pecado}^{2} x (d ϑ^{2} + {pecado}^{2} ϑ d φ^{2})) . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} ds^2 = dt^2 - a^2 \big( d\chi^2 + \sin^2 {\chi} \; (d\vartheta^2 + \sin^2 {\vartheta} \; d\varphi^2) \big). \end{equation}$ Aquí, la coordenada radial toma valores en un dominio acotado:

0 \leq χ \leq π

$0 \le \chi \le \pi$ . La longitud radial adecuada se define mediante este elemento de línea (

d ϑ = d φ = 0

$d\vartheta = d\varphi = 0$ ) :

\begin{matrix} (2) & d ℓ^{2} = a^{2} d x^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} d\ell^2 = a^2 \, d\chi^2. \end{equation}$ Integrando da trivialmente

ℓ = a χ

$\ell = a \, \chi$ .

El volumen adecuado de todo el espacio se encuentra fácilmente para ser $\mathcal{V} = 2 \pi^2 a^3$ , y el área de una esfera de radio coordenado $\chi$ es dado por $\mathcal{A}(\chi) = 4 \pi a^2 \sin^2 {\chi}$ . De este modo $\mathcal{A}(0) = \mathcal{A}(\pi) = 0$ y $\mathcal{A}_{\text{max}} = \mathcal{A}(\frac{\pi}{2}) = 4 \pi a^2$ .

En un universo cerrado, es importante no confundir longitud y distancia .

La pregunta es esta:

¿Cuál es la distancia adecuada máxima de un observador estacionario dado en este espacio? $\mathcal{D}_{\text{max}} = \pi \, a$ , o $\mathcal{D}_{\text{max}} = \frac{\pi}{2} \; a$ ?

Estoy confundido por el comportamiento del área, y creía que la distancia máxima es $\mathcal{D}_{\text{max}} = \pi \, a$ y no $\mathcal{D}_{\text{max}} = \frac{\pi}{2} \; a$ , a pesar de que $\mathcal{A}(\pi) = 0$ . ¡Ya no estoy seguro de que tenga sentido! Es posible que haya confundido la distancia con la longitud y necesito una confirmación.

Si construiste una estructura lineal en ese espacio, su longitud máxima debe ser $2 \pi \, a$ , y la distancia entre ambos extremos debe ser 0, ¿verdad? O es la longitud en realidad $\pi \, a$ ??

usuario74106

Si está considerando solo la parte espacial de su métrica, que resulta ser una variedad de Riemann, su pregunta no tiene sentido. En las variedades de Riemann no existe la noción de distancia o longitud "máxima", ya que siempre se pueden hacer ondas alrededor de ese camino, terminando con un camino que es más largo que el original. Ahora, si te refieres a la distancia máxima a lo largo de una geodésica, es solo una cuestión de integrar a lo largo de un gran círculo de 3 esferas en todo el rango del parámetro.

Cham

No entiendo por qué no tiene sentido. El elemento de distancia radial se define como

d ℓ = a d χ

$d\ell = a \, d\chi$ (ecuación (1)). Entonces la distancia radial entre el observador

O

$\mathcal{O}$ situado en

χ = 0

$\chi = 0$ y un punto arbitrario de coordenadas

χ > 0

$\chi > 0$ es solo

D = a χ

$\mathcal{D} = a \, \chi$ . El problema es definir el punto más alejado de

O

$\mathcal{O}$ . Desde

0 \leq χ \leq π

$0 \le \chi \le \pi$ , la distancia máxima es aparentemente

D = π a

$\mathcal{D} = \pi \, a$ (no debe confundirse con la longitud máxima , que es arbitraria, dependiendo de la curva). Lo que describiste es la longitud de una curva, no una distancia.

usuario74106

La distancia radial es una geodésica, por lo que concuerda con mi comentario anterior. Solo estamos usando una nomenclatura diferente. Para mí (y para los geómetras, supongo), la distancia y la longitud deberían significar lo mismo.

Cham

No estoy de acuerdo con tu última frase. longitud y distancia no son lo mismo (¿o por qué tendríamos dos palabras para la misma cosa?). Sin embargo, está claro que una curva arbitraria (no una geodésica) podría tener una longitud arbitraria. Esto es obvio. La palabra "distancia" suele utilizarse para definir la longitud mínima de la curva entre dos puntos (es decir, la longitud de una geodésica, por definición).

Cham

@ Mr.K, ¿está de acuerdo en que la distancia máxima entre dos puntos en el espacio cerrado es

D_{max} = π a

$\mathcal{D}_{\text{max}} = \pi \, a$ ? Y que la longitud máxima de una estructura lineal es

ℓ_{max} = 2 π a

$\ell_{\text{max}} = 2 \pi \, a$ mientras que la distancia entre sus dos extremos es 0 ?

usuario74106

¡Los sinónimos existen! La noción general de distancia definida en espacios métricos no coincide con su definición. Estás pensando en espacios euclidianos. Puede, por ejemplo, definir

d (x, y) = 0

$d(x,y)=0$ si

x = y

$x=y$ y

d (x, y) = 1

$d(x,y)=1$ de lo contrario. Esto satisface todos los axiomas de la distancia y todavía no es "mínimo" en ningún sentido. Cuando dices distancia en el contexto de una variedad, podría interpretarse como la distancia a lo largo de un camino, que es lo mismo que la longitud de un camino. Así que debes tener cuidado con tu nomenclatura. En segundo lugar, que las curvas puedan tener una longitud arbitraria no es nada obvio y esto solo es cierto para...

usuario74106

...variedades de Riemann. ¡Las geodésicas temporales, por ejemplo, maximizan la longitud! Finalmente, sí, estoy de acuerdo en que la respuesta es

π a

$\pi a$ .

Cham

@ Mr.K, creí que definí claramente la noción de distancia en mi pregunta ( distancia adecuada definida a partir de la métrica). Vea mi oración sobre la ecuación (1). Además, ¿estás de acuerdo con la última parte de mi comentario anterior?

Respuestas (1)

Distancia máxima en un universo estático cerrado

Si está considerando solo la parte espacial de su métrica, que resulta ser una variedad de Riemann, su pregunta no tiene sentido. En las variedades de Riemann no existe la noción de distancia o longitud "máxima", ya que siempre se pueden hacer ondas alrededor de ese camino, terminando con un camino que es más largo que el original. Ahora, si te refieres a la distancia máxima a lo largo de una geodésica, es solo una cuestión de integrar a lo largo de un gran círculo de 3 esferas en todo el rango del parámetro.
No entiendo por qué no tiene sentido. El elemento de distancia radial se define como $d\ell = a \, d\chi$ (ecuación (1)). Entonces la distancia radial entre el observador $\mathcal{O}$ situado en $\chi = 0$ y un punto arbitrario de coordenadas $\chi > 0$ es solo $\mathcal{D} = a \, \chi$ . El problema es definir el punto más alejado de $\mathcal{O}$ . Desde $0 \le \chi \le \pi$ , la distancia máxima es aparentemente $\mathcal{D} = \pi \, a$ (no debe confundirse con la longitud máxima , que es arbitraria, dependiendo de la curva). Lo que describiste es la longitud de una curva, no una distancia.
La distancia radial es una geodésica, por lo que concuerda con mi comentario anterior. Solo estamos usando una nomenclatura diferente. Para mí (y para los geómetras, supongo), la distancia y la longitud deberían significar lo mismo.
No estoy de acuerdo con tu última frase. longitud y distancia no son lo mismo (¿o por qué tendríamos dos palabras para la misma cosa?). Sin embargo, está claro que una curva arbitraria (no una geodésica) podría tener una longitud arbitraria. Esto es obvio. La palabra "distancia" suele utilizarse para definir la longitud mínima de la curva entre dos puntos (es decir, la longitud de una geodésica, por definición).
@ Mr.K, ¿está de acuerdo en que la distancia máxima entre dos puntos en el espacio cerrado es $\mathcal{D}_{\text{max}} = \pi \, a$ ? Y que la longitud máxima de una estructura lineal es $\ell_{\text{max}} = 2 \pi \, a$ mientras que la distancia entre sus dos extremos es 0 ?
¡Los sinónimos existen! La noción general de distancia definida en espacios métricos no coincide con su definición. Estás pensando en espacios euclidianos. Puede, por ejemplo, definir $d(x,y)=0$ si $x=y$ y $d(x,y)=1$ de lo contrario. Esto satisface todos los axiomas de la distancia y todavía no es "mínimo" en ningún sentido. Cuando dices distancia en el contexto de una variedad, podría interpretarse como la distancia a lo largo de un camino, que es lo mismo que la longitud de un camino. Así que debes tener cuidado con tu nomenclatura. En segundo lugar, que las curvas puedan tener una longitud arbitraria no es nada obvio y esto solo es cierto para...
...variedades de Riemann. ¡Las geodésicas temporales, por ejemplo, maximizan la longitud! Finalmente, sí, estoy de acuerdo en que la respuesta es $\pi a$ .
@ Mr.K, creí que definí claramente la noción de distancia en mi pregunta ( distancia adecuada definida a partir de la métrica). Vea mi oración sobre la ecuación (1). Además, ¿estás de acuerdo con la última parte de mi comentario anterior?

carmesí · Answer 1

El componente espacial del espacio-tiempo que describe es una esfera de 3. La mayor distancia se obtiene cuando $\Delta t=0$ por lo que podemos ignorar la dirección del tiempo del espacio-tiempo.

Una 3 esferas es una extensión natural de una 2 esferas. Donde una 2-esfera consiste en un círculo con radio $\sin(\theta)$ por cada valor de $\theta$ , una 3 esferas consta de 2 esferas con radio $\sin(\chi)$ por cada valor de $\chi$ . La distancia más grande en una esfera de 2 es la distancia desde el polo norte hasta el polo sur. Esto corresponde a la variación $\theta$ por $\pi$ . Cuando el radio es $a$ , esto da una distancia de $\pi a$ .

Un razonamiento similar te permite viajar de un lado de la 3 esfera al otro variando $\chi$ por $\pi$ . Aquí la distancia es otra vez $\pi a$ .

Para la segunda parte de tu pregunta. Si por longitud máxima te refieres a la distancia recorrida a lo largo de un camino similar al espacio, entonces no hay longitud máxima. Un camino puede enroscarse alrededor de las 3 esferas y tener una longitud infinita. Incluso cuando exige que el camino sea recto, es decir, una geodésica, no hay una longitud máxima, ya que el camino podría viajar alrededor de la 3 esfera con un pequeño componente temporal, dando así una vuelta eterna a la 3 esfera y obteniendo una longitud infinita.

La longitud de un camino recto alrededor de las 3 esferas sin un componente temporal en este sistema de coordenadas es $2\pi a$ , al igual que para la 2-esfera.

Gracias, entonces confirmas lo que estaba pensando: la estructura lineal más larga en ese espacio tendría una longitud de $2 \pi \, a$ mientras que ambos extremos están a una distancia de 0. Entonces, la distancia máxima (no la longitud ) es $\pi \, a$ , y no $\frac{\pi}{2} \; a$ . El comportamiento del área esférica. $\mathcal{A}(\chi)$ es raro, sin embargo.
Ok, sobre el área, ahora tengo una imagen más clara de la reducción de una simple 2 esferas. En este caso simple, el equivalente de $\mathcal{A}(\chi)$ sería la circunferencia del círculo dibujado en la superficie de la esfera: $\ell(\chi) = 2 \pi \sin{\chi}$ , lo que da $\ell(0) = \ell(\pi) = 0$ mientras que los círculos limitantes están en lados opuestos de la esfera. Pero todavía es extraño "visualizar" el área de las 3 esferas.

Distancia máxima en un universo estático cerrado

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carmesí

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