Dispersión de amplitudes a partir de diagramas de Feynman (formalismo de espinor helicidad)

Question

Dispersión de amplitudes a partir de diagramas de Feynman (formalismo de espinor helicidad)

akoben

$\require{cancel}$ Estoy tratando de hacer un ejercicio de Scattering Amplitudes By Elvang (Ejercicio 2.9) que dice:

Muestra esa $A_5(f^-\bar{f}^-\phi\phi\phi) = g^3\frac{[12][34]^2}{[13][14][23][24]} + 3\leftrightarrow 5 + 4\leftrightarrow 5$ en la teoría de Yukawa

Entonces, dibujé el diagrama de Feynman, que creo que se parece a esto (el término de interacción es $L_i = g\phi\psi\bar{\psi}$ ):

¿Es correcto este diagrama? Usando las reglas de Feynman para la teoría de Yukawa (en el formalismo de Spinor Helicidad sin masa), evalúo que esto es:

A_{5} (F^{-} {\bar{F}}^{-} ϕ ϕ ϕ) = {gramo}^{3} ⟨ 2 | \frac{({pag}_{1} + {pag}_{2})}{(({pag}_{1} + {pag}_{2})^{2}} \frac{({pag}_{1} + {pag}_{2} + {pag}_{3})}{({pag}_{1} + {pag}_{2} + {pag}_{3})^{2}} | 5 ⟩ + 1 \leftrightarrow 3 + 1 \leftrightarrow 4 + 3 \leftrightarrow 4

$A_5(f^-\bar{f}^-\phi\phi\phi) = g^3\langle2|\frac{(\cancel{p_1} + \cancel{p_2})}{(({p_1} + p_2)^2}\frac{(\cancel{p_1} + \cancel{p_2} + \cancel{p_3})}{(p_1 + p_2 + p_3)^2}|5\rangle \\~~~\\+ ~1\leftrightarrow 3 + ~1\leftrightarrow 4 + ~3\leftrightarrow 4$

Mi estrategia hasta ahora ha sido calcular el primer término y luego simplemente hacer las permutaciones al final. En general, ¿es esta una buena estrategia para usar con diagramas como este?

Haciendo esto, termino con lo siguiente para el primer término:

A_{5}^{(1)} = {gramo}^{3} ⟨ 2 | \frac{s_{13}}{s_{12} (s_{12} + s_{13} + s_{23})} | 5 ⟩

$A_5^{(1)} = g^3\langle2|\frac{s_{13}}{s_{12}(s_{12} + s_{13} + s_{23})}|5\rangle$

Dónde $s_{ij} = -(p_i + p_j)^2 = 2p_i\cdot p_j$ y he usado la ecuación de Weyl $\langle 2|p_2 = 0$ .

Puedo ir más allá, usando el hecho de que $s_{ij} = \langle ij\rangle[ij]$ , para terminar con:

A_{5}^{(1)} = {gramo}^{3} ⟨ 2 | \frac{⟨ 13 ⟩ [13]}{⟨ 12 ⟩ [12] (⟨ 12 ⟩ [12] + ⟨ 13 ⟩ [13] + ⟨ 23 ⟩ [23])} | 5 ⟩

$A_5^{(1)} = g^3\langle2|\frac{\langle 13\rangle[13]}{\langle 12\rangle[12](\langle 12\rangle[12] + \langle 13\rangle[13] + \langle 23\rangle[23])}|5\rangle$

Parece que no puedo simplificar esto más. ¿Voy de inmediato a resolver esto? ¿Hay algún truco que me esté perdiendo?

Respuestas (1)

Dispersión de amplitudes a partir de diagramas de Feynman (formalismo de espinor helicidad)

eduardo hughes · Answer 1

No le daré la solución completa, solo algunos consejos que, con suerte, lo ayudarán a llegar allí.

Etiquete sus partículas correctamente para estar de acuerdo con la pregunta. En este caso, han etiquetado $f^- = 1$ , $\bar{f}^- = 2$ , $\phi = 3,4,5$ . Necesita volver a dibujar su diagrama con estas convenciones.
Tienes razón sobre las permutaciones. En general, es una buena estrategia concentrarse en un diagrama e incluir las permutaciones al final, en la forma $(3 \leftrightarrow 5) + (4\leftrightarrow 5)$ . Una vez que haya vuelto a etiquetar sus partículas correctamente, esto debería ser obvio.
En cuanto al primer término, debe tener más cuidado con sus variables de espinor-helicidad. Recuerda eso $\not{p} = -|p] \langle p| - |p \rangle [p |$ tan en particular $\langle a| \not{p}\not{q}\ | b \rangle$ no es igual $\langle a \ b \rangle p\cdot q$ como afirmas.
Una vez que hayas hecho correctamente la multiplicación del espinor en el numerador del primer término, deberías tener la suma de varios términos. No me sorprendería si necesita una identidad de Schouten para simplificarla a la forma que citan.

Déjame saber cómo va eso; puedo darte más detalles si te quedas atascado. ¡Buena suerte!

Actualización: Más sobre el Punto #3

⟨ a | ⧸ pag ⧸ q | b ⟩ = ⟨ a pag ⟩ [pag q] ⟨ q b ⟩

$\langle a| \not{p}\not{q}\ | b \rangle = \langle a \ p \rangle[p \ q] \langle q \ b \rangle$

donde hemos usado

{pag}^{\dot{a} b} = - | pag ⟩^{\dot{a}} [pag |^{b}

$p^{\dot a b}=-|p\rangle^{\dot a}[p|^b$

y una fórmula similar para $q$ .

Tenga en cuenta en particular que esto no es igual a

⟨ a b ⟩ ⟨ pag q ⟩ [pag q]

$\langle a \ b \rangle \langle p\ q \rangle [p \ q]$

en general.

Gracias Edward, comentarios muy útiles. Una pregunta rápida sobre el punto 2... Asumí que $\langle a| \not{p}\not{q}\ | b \rangle = \langle a| \frac12\left(\not{p}\not{q} + \not{q}\not{p}\right)\ | b \rangle = \langle a| p\cdot q\ | b \rangle$ , ¿por qué eso no es correcto?
He actualizado mi respuesta para incluir más detalles. ¡Déjame saber si eso tiene sentido ahora!

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