Producto interno de componentes de espinor partícula-antipartícula

Supongamos que tengo espinores de cuatro componentes$\Psi$y$\bar \Psi$satisfaciendo la ecuación de Dirac con

$$\Psi(\vec x) = \int \frac{\textrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\vec p}}} \sum_{s = \pm \frac{1}{2}} \left[ a^s_p u^s_p e^{i \vec p \cdot \vec x} + \tilde b^s_p v^s_p e^{-i \vec p \cdot \vec x} \right]$$

$$\bar \Psi(\vec x) = \int \frac{\textrm{d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\vec p}}} \sum_{s = \pm \frac{1}{2}} \left[ \tilde a^s_p \tilde u^s_p e^{-i \vec p \cdot \vec x} + b^s_p \tilde v^s_p e^{-i \vec p \cdot \vec x} \right] \gamma^0$$

con estas definiciones:

$$\tilde a \equiv a^\dagger \quad ; \quad \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & 1_2 \\ 1_2 & 0 \end{pmatrix} \quad ; \quad u^s_p = \begin{pmatrix} \sqrt{p \cdot \sigma} \xi^s \\ \sqrt{p \cdot \bar \sigma} \xi^s \end{pmatrix} \quad ; \quad v^s_p = \begin{pmatrix} \sqrt{p \cdot \sigma} \eta^s \\ -\sqrt{p \cdot \bar \sigma} \eta^s \end{pmatrix}$$

$$\sigma = (1_2, \vec \sigma) \quad ; \quad \bar \sigma = (1_2 , - \vec \sigma) \quad ; \quad p = (p_0 , \vec p)$$

dónde$\vec \sigma$es el vector habitual de las matrices de Pauli y$\xi, \eta$son espinores de dos componentes.

Luego, el disertante pasa a elegir una base apropiada para$\xi$

$$\xi^1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} \quad ; \quad \xi^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}$$

y de manera similar para$\eta$tal que$\tilde \xi^r \xi^s = \delta^{rs}$y$\tilde \eta^r \eta^s = \delta^{rs}$. Esto parece sensato y usando esto, podemos calcular varios productos internos de$u$y$v$. En los ejemplos discutidos en las notas, los términos mixtos, es decir, aquellos que contienen productos de$\xi^r$y$\eta^s$nunca ocurre (multiplicado por 0, por lo tanto irrelevante) o cancelado.

En una tarea de ejemplo, sin embargo, estamos destinados a calcular$\bar \psi(-i \gamma^i \partial_i + m) \psi$lo que me lleva a términos como

$$\sum_{s,t} 2 m \tilde a^t_p \tilde b^s_{-p} (p_i \sigma^i) \tilde \xi^t \eta^s$$

que también se anulan al final, pero plantean mientras tanto la pregunta de cómo$\tilde \xi^t \eta^s$está realmente definido/puede calcularse. Las identidades obtenidas de una elección adecuada de la base para$\eta$y$\xi$'sentirse' mal aquí, ya que, después de todo,$\xi$proviene de una partícula-spinor y$\eta$proviene de un espinor antipartícula. Supongo que mi pregunta podría reformularse en cuanto a si$\xi$y$\eta$vivir en el mismo espacio o pertenecer a dos espacios diferentes (lo que haría de su producto interior un ejercicio aún más apasionante).