Diseño del filtro de paso alto Butterworth

Estoy tratando de diseñar, y luego implementar, un filtro de paso alto Butterworth con una frecuencia de corte de 8kHz y una tasa de caída de 60dB/década.

Para este filtro$\omega_c = 50265.4824 rad/s$(convirtiendo de Hz)

Hasta ahora he determinado el orden del filtro requerido como:

$$order = \frac{\text{desired roll off}}{20dB/decade}$$ $$=\frac{60dB/decade}{20dB/decade} = 3_{rd} \text{ order filter}$$

Usaré esta ecuación para un filtro de tercer orden de paso bajo normalizado:

$$H_{LN}(sL_n)=\frac{a_0}{b_0 +b1SL_n +b_2SL_n^2 +SL_n^3}$$

y he obtenido$b_n$términos de la siguiente tabla que proviene del análisis de señales y sistemas lineales de GE Carlson:

entonces tenemos$b_0 = 1, b_1 = 2,b_2 = 2$

A continuación, quiero transformar la frecuencia de esta función de transferencia en la de un filtro de paso alto, por lo que reemplazaré

$$SL_n$$ por $$\frac{\omega _c}{S}$$

con$a_0 = b_0 \times G_{DC} = 1 \times 1 = 1$

Resultando en

$$HL_n(\frac{\omega_c}{S}) = \frac{1}{1 + \frac{2\omega_c}{S} + \frac{2{\omega_c}^2}{S^2} +\frac{\omega_c^3}{S^3}}$$

Estoy un poco perdido aquí como ahora tenemos$S^n$términos como 1 sobre en el denominador. Para que la forma de la función de transferencia vuelva a la normalidad, obtuve el mínimo común denominador que luego da:

$$HL_n(\frac{\omega_c}{S}) = \frac{S^3}{S^3 +2\omega_c S^2 + 2\omega_c ^2 S + \omega_c ^3}$$

Usando la función de diagrama de Bode en Matlab:

wc = 50265.4824;
num = [1]
den = [1 2*wc 2*wc^2 wc^3]
opts = bodeoptions('cstprefs');
opts.FreqUnits='Hz';
G = tf(num, den)
bode(G,opts), grid;

Claramente, esto no es correcto, ya que lo que se muestra en el gráfico de magnitud es un paso bajo y no un paso alto, por lo que me equivoqué en alguna parte. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!