Análisis de un filtro de clave paso de banda sallen

Puede utilizar el análisis de nodos modificado para resolver todos los voltajes de nodos desconocidos y las corrientes desconocidas. Una vez que obtenga el voltaje del nodo, puede encontrar la función de transferencia. Para el análisis, denoto nodo y corriente como en la imagen a continuación.

Ahora puede escribir KCL para cada nodo y una restricción por OpAmp.

Puedes obtener 7 ecuaciones:

Luego puede resolver 7 ecuaciones para obtener todos los voltajes y corrientes desconocidos. Finalmente, la función de transferencia es solo V5/V1.

Sugerencias generales (funciona no solo para esta configuración en particular):

Realice los siguientes pasos en$s$-dominio:

• establecer la ecuación vor$v_+$(entrada pos. de OpAmp) como expresión de$v_{in}$y$v_{out}$.
• establecer la ecuación vor$v_-$(entrada negativa de OpAmp) como expresión de$v_{out}$.
• resuelve la ecuación$v_+ = v_-$para$v_{out}$(por ejemplo, por análisis nodal o por transformaciones de red)
• reemplaza la expresión resultante en la definición de$H(s)$:
  $H(s) = \frac{v_{out}}{v_{in}}$
  La expresión resultante no contendrá$v_{in}$(o$v_{out}$o$v_{aux}$) más, pero será solo una expresión de los parámetros$R_1$,$R_2$,$R_f$, ..,$C_1$, .. y la variable independiente$s$.

Puede usar herramientas matemáticas simbólicas, por ejemplo, sympypaquete para Python, Maple, Mathematica...

Aquí hay un script de Python que hace el álgebra (usando sympy); aunque no estoy seguro si es correcto:

# deriving the transfer function of a Sallen-Key band pass filter

from sympy import Symbol, symbols, solve, collect

s = Symbol('s')

def Xc(C): global s; return 1 / (s * C)

Vin, Vout, Vaux = symbols('Vin Vout Vaux')
R1, R2, C1, C2, Rf, Ra, Rb = symbols('R1 R2 C1 C2 Rf Ra Rb')
X1, X2 = Xc(C1), Xc(C2)

# get expression for Vaux by solving KCL in node_aux:
Vaux_expression = solve(    (Vin  - Vaux) / R1 
                          + (Vout - Vaux) / Rf 
                                  - Vaux  / X1 
                                  - Vaux  / (X2 + R2), 
                        Vaux)[0]

Vpos = Vaux_expression * R2 / (X2 + R2) # voltage at pos. input of OpAmp
Vneg = Vout * Ra / (Ra + Rb)            # voltage at neg. input of OpAmp

# get expression for Vout by solving equation Vneg = Vpos for Vout
Vout_expression = solve(Vpos - Vneg, Vout)[0]

# get transfer function H(s) by defining formula:
H = Vout_expression / Vin
H = collect(H, s)
print H

Resultado:C2*R2*Rf*s*(Ra + Rb)/(C1*C2*R1*R2*Ra*Rf*s**2 + R1*Ra + Ra*Rf + s*(C1*R1*Ra*Rf - C2*R1*R2*Rb + C2*R1*Ra*Rf + C2*R2*Ra*Rf))

Este filtro se puede analizar utilizando las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACTs . El principio es determinar las constantes de tiempo del circuito en dos configuraciones diferentes: cuando la excitación se reduce a 0 V y con una salida nula cuando la excitación vuelve.

Reducir la excitación a 0 V significa reemplazar la fuente de entrada$V_{in}$por un cortocircuito. Luego, "mira" la resistencia$R$ofrecidos por los elementos de almacenamiento de energía (las tapas) para formar constantes de tiempo,$\tau_1=RC_1$y$\tau_2=RC_2$. Los siguientes dibujos ilustran este principio:

Usando estos dos dibujos, determina las siguientes constantes de tiempo:

$\tau_1=C_1(R_1||R_f)$

$\tau_2=C_2(\frac{k_1(R_1R_2+R_1R_f+R_2R_f)-R_1R_2}{k_1(R_1+R_f)})$

$b_1=\tau_1+\tau_2$

Luego, configura el capacitor 1 en su estado de alta frecuencia (un cortocircuito) y determina la resistencia$R$Mirando hacia$C_2$terminales de:

Tienes$\tau_{12}=C_2R_2$y$b_2=\tau_1\tau_{12}$

Finalmente, determina la ganancia.$H^2$cuando condensador$C_2$es un cortocircuito:

La función de transferencia completa se determina de acuerdo con$H(s)=\frac{sH^2\tau_2}{1+sb_1+s^2b_2}$

Sin embargo, incluso si esta expresión es matemáticamente correcta, no tiene información sobre la ganancia de meseta$H_{MB}$y la frecuencia de sintonización que son realmente los objetivos de diseño. Debe volver a trabajar la fórmula de acuerdo con el siguiente formato de baja entropía :$H(s)=H_{MB}\frac{1}{1+(\frac{\omega_0}{s}+\frac{s}{\omega_0})Q}$. Esto es lo que muestran las siguientes hojas de Mathcad y comparan las distintas respuestas:

Entonces, el punto no es solo escribir una función de transferencia que vincule$V_{out}$a$V_{in}$pero más reorganizando el resultado en una forma significativa a partir de la cual obtiene información y puede diseñar para un objetivo determinado al sintonizar la frecuencia y el factor de calidad: de eso se tratan los FACT.

En realidad, solo hay dos nodos que necesitan ejercitarse. Todos los demás están definidos por el nodo b. El nodo del nodo de entrada está definido por la fuente de voltaje de entrada.

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

De un comentario:> Mi álgebra es bastante buena. Pero no entiendo la forma de proceder para terminar con la función de transferencia.

Nodo a: Aplicar KCL.

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)V_{a}(s)-\frac{1}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{b}(s)=\frac{1}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{1}$$

Nodo b: Aplicar KCL.

$$\left(\frac{1}{R_{2}}+C_{2}s\right)V_{b}(s)=C_{2}sV_{a}(s)$$

Resolver$V_{a}$

$$\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{b}(s)=V_{a}(s)\tag{2}$$

Sustituye (2) en (1)

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{b}(s)-\frac{1}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{b}(s)=\frac{1}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{3}$$

De un comentario:> pero no sé cómo derivar las ecuaciones para v+ y v−

Dejar$K=1+\frac{R_{b}}{R_{a}}$. Entonces,$V_{o}(s)=KV_{b}(s)$. Sustituir en (3).

Darse cuenta de$v-=v+=v_{b}$

$$\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{f}}+C_{1}s+C_{2}s\right)\left(\frac{1}{R_{2}C_{2}s}+1\right)V_{o}(s)-\frac{K}{R_{f}}V_{o}(s)-C_{2}sV_{o}(s)=\frac{K}{R_{1}}V_{i}(s)\tag{4}$$

Te dejo el álgebra para que lo simplifiques en la forma que se muestra en el OP.