Discontinuidad en el potencial gravitacional

El problema aquí es que muchos cursos de introducción a la física dicen que la energía potencial de la gravitación es

$$U = mgh.$$ Esta es una expresión aproximada que solo funciona si tu masa $m$es mucho más ligero que la Tierra y relativamente cerca de la Tierra. Sin embargo, se rompe en el momento en que comienzas a considerar situaciones más complicadas.

Por ejemplo, supongamos que tenemos un objeto entre la Tierra y la Luna. Luego, cuando está cerca de la luna, tenemos

$$U \approx m g_{\text{moon}} h_{\text{moon}}$$ y cuando está cerca de la Tierra, tenemos $$U \approx m g_{\text{Earth}} h_{\text{Earth}}.$$ Sin embargo, estas dos expresiones no se pueden combinar consistentemente en todas partes. En los cursos introductorios, a veces pasan por alto este punto diciendo que solo debe considerar el cuerpo pesado más cercano/más importante, como hacia el que caería si dejara ir el objeto. Pero eso implica que el potencial cambia discontinuamente de la primera opción a la segunda, a medida que te acercas de la luna a la Tierra, como si el potencial de la luna se "apagara" de repente.

Este problema aparece porque las dos expresiones anteriores son solo aproximadas. La verdadera energía potencial es

$$U = -\frac{GM_{\text{moon}}m}{r_{\text{moon}}} - \frac{GM_{\text{Earth}}m}{r_{\text{Earth}}}$$ donde el $r$son las distancias al centro de la luna y la tierra. Usando algo de cálculo, puedes mostrar que esto se reduce a las dos expresiones anteriores cuando el objeto está muy cerca de la Luna o de la Tierra.

El potencial siempre se define como una integral.

$$U(\vec{x}) = \int^{\vec{x}}_{\vec{x}_0\:\:\Gamma} \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r}\tag{1}$$ el camino $\Gamma$Uniones $\vec{x}_0$a $\vec{x}$y su forma es irrelevante solo porque el campo vectorial $\vec{F} = \vec{F}(\vec{r})$es conservador.

Es un ejercicio fácil demostrar que el lado derecho de (1) en función de$\vec{x}$siempre es continua si la función$\vec{F}$es integrable (no importa si se adopta la noción de eintegral de Riemann o Lebesgue). Si la función$\vec{F}$no es integrable, el potencial no existe en absoluto.

Resumiendo: Si el potencial existe, necesariamente es continuo .

Con respecto a su pregunta, centrémonos en su declaración.

"Pero si superas una altura específica de repente, la gravedad no puede detener el objeto y puede interpretarse como que el potencial se vuelve cero".

Esto está mal, la declaración correcta terminaría así

"... se puede interpretar como que el potencial se vuelve [¡continuamente!] a un valor constante".

ya que la fuerza es la derivada del potencial y la derivada de una constante se anula.