Mecánica newtoniana: ¿de dónde proviene la energía?

La ecuación principal para usted es la de la conservación de la energía :

$$K_1+U_1+W=K_2+U_2$$

Los números representan antes y después , o situación 1 y situación 2 .

• Energía cinética $K$es energía de "movimiento". Los objetos que tienen una velocidad (no aceleración, eso no importa) tienen energía cinética : $$K=\frac12 mv^2$$
• Energía potencial $U$es energía "almacenada". Esto aparece cuando los objetos "quieren" moverse a otro lugar; en este caso, el objeto quiere volver a caer debido a la gravedad, por lo que al levantarlo hay energía "almacenada" que puede usarse al soltarlo: $$U=mgh$$
• Trabajar $W$es energía añadida . y el trabajo lo hacen las fuerzas $F$: $$W=F x$$ dónde$x$es la distancia recorrida. Entonces, si una fuerza, como la que aplica su mano al levantar el objeto, levanta el objeto la distancia$x$, entonces ha hecho el trabajo$W=Fx$sobre el objeto; en otras palabras, ha agregado esta cantidad de energía al sistema .

Para empezar, no hay movimiento y el objeto está en la parte inferior, por lo que$K_1=0$y$U_1=0$. entonces trabajas$W$, que se convierte en energía cinética mientras que parte de ella también se almacena como energía potencial. La ecuación se convierte en:

$$K_1+U_1+W=K_2+U_2 \quad\Leftrightarrow\quad 0+0+W=K_2+U_2 \quad\Leftrightarrow\quad Fx=\frac12mv^2+mgh$$

Entonces el trabajo es igual a la suma de las energías finales en la situación dos. Toda esa energía proviene de la entrada de energía en forma de trabajo.

La aceleración no influye en todo esto. Lo único en lo que influye la aceleración es en qué tan grande será la fuerza: según la segunda ley de Newton, una aceleración mayor requiere fuerzas mayores. Entonces, si el objeto se acelera en gran medida, eso habría causado una fuerza mayor y, por lo tanto, más trabajo.$W$hecho.

Incluso al escribir esto, he pensado en muchos otros problemas y contradicciones aparentes que ni siquiera puedo comenzar a formular en una pregunta coherente.

¡No te rindas!

OK, estás mezclando cosas en tu mente.

Para empezar, olvídate de la velocidad y la aceleración. Solo piensa en la fuerza y ​​la distancia. Trabajo = Energía = Fuerza por distancia.

Ahora, haz una distinción entre estar en un campo de gravedad como en la superficie de la tierra y estar en el espacio. Lo que los hace similares es la relatividad general, pero por el amor de Dios, no te preocupes por eso.

Cuando se levanta algo de peso a lo largo de una distancia, ¿cuál es la fuerza? El peso, ¿no? Entonces, si sube una escalera 1 metro y pesa 1 kg, ha transferido 1 kg-metro de energía potencial de sus músculos a su energía potencial gravitacional. (La fuerza realmente debería medirse en Newtons, pero no quiero agregar confusión).

Ahora, si estás en el espacio y empujas un peso con cierta fuerza durante una cierta distancia, luego lo aceleras hasta una cierta velocidad, luego el trabajo que hiciste en él (que es energía) pasó de tus músculos a su cinética. energía.

Bien, de vuelta a la tierra.

Cuando levantas un objeto, estás ejerciendo una fuerza debido a la gravedad, y eso genera energía potencial.

Cuando lo sueltas y cae, la fuerza de la gravedad lo acelera hacia abajo y, a medida que desciende y aumenta su velocidad, su energía potencial se convierte en energía cinética. Es decir, hasta que se estrella contra el suelo y su energía cinética se convierte en calor y en la ruptura de todos los enlaces químicos que mantienen unido el objeto.

Tienes algunas cosas mezcladas, pero eso ya lo sabes. Esto es lo que son en particular:

Tengo la impresión de que el trabajo realizado en ese objeto es igual al GPE que gana a medida que se mueve hacia arriba.

Esto no es cierto en general, pero solo en momentos en que el objeto está estacionario , cuando tiene energía cinética cero. Entonces, antes de comenzar a levantarlo y después de detenerse, esto es cierto.

¿De dónde vino la energía que lo hizo acelerar y ganar energía cinética en primer lugar?

Puedes ver tu acción como si tuviera tres partes, superpuestas en el tiempo:

1. Lo aceleraste hacia arriba, aumentando el KE por encima de cero. Trabajaste (en una distancia corta) para hacer esto.
2. Estás haciendo más trabajo para mantenerlo moviéndose hacia arriba a una velocidad constante, en lugar de que disminuya la velocidad y caiga bajo la influencia de la gravedad. Este trabajo es de donde proviene la mayor parte de la energía potencial gravitacional final.
3. Al final, lo detienes (lo pones en un estante, lo sostienes en el aire, lo que sea). Ahora la KE es cero nuevamente, y esto es lo contrario del paso 1.

Ahora, en realidad hay dos formas diferentes en que podría ocurrir el paso 3.

• Suponga que se mueve rígidamente y se asegura de que el objeto se detenga abruptamente. En este caso, la energía que era la KE del objeto regresa a tu brazo (y se convierte en calor cuando te opones, porque lamentablemente los músculos no son sistemas reversibles).

• O podría (y probablemente lo hará) dejar de empujar hacia arriba antes de que el objeto alcance su altura final. Luego, el KE se convierte en GPE con el tiempo, como en un proyectil de vuelo libre, excepto que lo detendrá antes de que comience a caer nuevamente. Esto es más eficiente y significa que todo el trabajo que hizo en el objeto (despreciando la resistencia del aire y demás) se convierte eventualmente en GPE .

  La versión extrema de esto es lanzar un objeto a un lugar más alto: lo levantas un poco con el brazo, pero sobre todo agregas KE, que gradualmente se convierte en GPE, y cuando llega a su lugar de aterrizaje, solo tiene GPE. (Sin embargo, mucha más energía que tenía de la que necesitaba, reflejada en la distancia que cae más allá de su altura máxima, se disipa en el impacto cuando se detiene).

Cuando levantas el objeto desde una posición estacionaria, no puedes moverlo a una velocidad constante, al menos al principio. Comienza desde V = 0 y, según la fuerza que aplique, que debe ser mayor que el peso del objeto (mg), el objeto acelera hasta la velocidad final deseada, Vf a la altura de H.

El trabajo que ha realizado tiene dos partes: levantar el objeto a la altura de H, que se conserva como energía potencial, y el trabajo adicional que se ha invertido en darle al objeto su velocidad, Vf.
Ahora, si sueltas el objeto en la elevación H, seguirá subiendo desacelerándose según esta ecuación.

$$1/2m.Vf^2=m.g.dH$$ y dH es la altura adicional a la que sube el objeto antes de quemar la energía cinética y se detiene a la altura de $$H_final =H+dH$$ y luego se caerá.

¡No hay misterio como ves! ¡Cualquier y todo el trabajo que haya realizado en el objeto se ha sumado y convertido en su energía potencial!

Para empezar usa la segunda ley de Newton$\vec F~=~m\vec a$con la fuerza dada por el principio de gravedad de Newton,

$$\vec F~=~-\frac{GMm\vec r}{|\vec r|^3}.$$ Aquí el vector $\vec r$está entre las dos masas $m$y $m$. El movimiento de la pequeña masa es de particular interés, y para $m~<<~M$el movimiento de $M$puede ser ignorado. Ahora integre la fuerza a lo largo de un camino $$\int\vec F\cdot d\vec r~=~m\int\vec a\cdot d\vec r.$$ Esto define la energía como el trabajo realizado por una fuerza desplazada a lo largo de una distancia.

Con esta integración primero trabajamos en el lado derecho de la ecuación. La aceleración es la tasa de cambio de momento en el tiempo$\vec a~=~d\vec v/dt$y la integral de la derecha es

$$m\int\vec a\cdot d\vec r~=~m\int\frac{d\vec v}{dt}\cdot d\vec r.$$ ahora usamos $d\vec r~=~\vec v dt$para realizar un cambio de variable $$m\int\frac{d\vec v}{dt}\cdot \vec v dt~=~\frac{m}{2}\int\frac{d(\vec v\cdot v)}{dt}\cdot dt~=~\frac{m}{2}\vec v\cdot v~+~C,$$ para $C$una constante de integración. Reconocemos el resultado de la integración como la energía cinética $K~=~\frac{1}{2}mv^2$.

Ahora considere el lado izquierdo con la fuerza. Esta integración es

$$-GMm\int\frac{\vec r\cdot d\vec r}{|\vec r|^3}~=~\frac{GMm}{|\vec r|}~+~C'.$$ Ahora combino las dos constantes de integración y las llamo $E$y expresar la integración de $\vec F~=~m\vec a$con puesto como $$\frac{GMm}{|\vec r|}~+~E~=~\frac{m}{2}\vec v\cdot v,$$ o $$E~=~\frac{m}{2}\vec v\cdot v~-~\frac{GMm}{|\vec r|}.$$ Este término $E$es una constante de integración. Hay formas fundamentales de ver esto, particularmente con la mecánica hamiltoniana y el thoerem de Noether.

si el trabajo realizado se ha destinado a almacenar el GPE y son iguales, ¿de dónde vino la energía que lo hizo acelerar y ganar energía cinética en primer lugar?

Cuando el objeto está en aceleración, parte del trabajo realizado por usted se destina a aumentar KE y parte se destina a aumentar GPE.

También tengo la impresión de que la energía cinética y el GPE son iguales. Entonces parece que he trabajado en el objeto y el trabajo realizado es igual a la suma de KE y GPE. ¿Cómo es eso posible? Seguro que así he sacado el doble de energía de la que le he puesto lo que a todas luces es una tontería.

si la KE y la GPE son iguales, ¿cómo es que puede seguir moviéndose hacia arriba con una velocidad constante y, por lo tanto, una KE constante y la GPE está aumentando?

Esto es cierto solo para el sistema aislado. Si la energía mecánica total (KE+GPE) del sistema aumenta, el sistema no está aislado (o el campo de fuerza no es conservativo). En este caso (la gravedad es conservadora), claramente está agregando trabajo al sistema.