Diferenciando el corrimiento al rojo cosmológico con la confusión del tiempo

Estoy tratando de entender la confusión en expansión: conceptos erróneos comunes de los horizontes cosmológicos y la expansión superlumínica del universo por parte de Davis y Lineweaver. En la página 19 dan una ecuación (número 23) para redshift$z$:

$$1+z=\frac{R_{0}}{R\left(t\right)},$$ dónde $R_{0}$es el factor de escala en el momento de la observación y $R\left(t\right)$es el factor de escala en el momento de la emisión. Luego diferencian esto con respecto al tiempo. $t$Llegar $$\frac{dt}{R\left(t\right)}=-\frac{dz}{R_{0}H\left(z\right)},$$ dónde $H\left(z\right)$es la constante de Hubble en el momento en que un objeto con corrimiento al rojo, $z$, emitió la luz que ahora vemos y donde se usa el corrimiento al rojo en lugar del tiempo para parametrizar la constante de Hubble. Simplemente no puedo ver cómo la diferenciación del tiempo real da esta ecuación. ¿Y de dónde viene el signo menos? Usando mis matemáticas de la escuela secundaria, diría $$\frac{dz}{dt}=\frac{d\left(\frac{R_{0}}{R\left(t\right)},\right)}{dt},$$ pero ¿a dónde voy desde allí? Gracias.