Cálculo del corrimiento al rojo en un universo dominado por la constante cosmológica

La densidad de radiación ha sido insignificante durante la mayor parte de la vida del universo, por lo que podemos considerar solo las densidades de materia y energía oscura. Mirando su ecuación, la expansión estará dominada por la materia cuando$\Omega_M (1+z)^{3} \gg \Omega_\Lambda$y la energía oscura dominaba cuando$\Omega_\Lambda \gg \Omega_M (1+z)^{3}$, por lo que el cruce será cuando$\Omega_M (1+z)^{3} = \Omega_\Lambda$dándonos:

$$(1+z)^{3} = \frac{\Omega_\Lambda}{\Omega_M}$$

Alimentando el valor de Planck,$\Omega_M = 0.315, \Omega_\Lambda = 0.685$yo obtengo$z = 0.3$.

creo que lo que te falta es eso$\Omega_{CMB}$es bastante insignificante fuera del universo primitivo. Si trata el CMB como un campo de radiación de cuerpo negro con densidad de energía total dada por

$$u = \frac{4\sigma}{c} T^4$$ Con $T=2.73$K, esto da una densidad de energía de $4 \times 10^{-14}$J/m $^{3}$.

La densidad crítica actual es$8\times 10^{-10}$J/m$^{-3}$, entonces$\Omega_{CMB} \sim 5\times10^{-5}$y aunque la densidad de energía del CMB aumenta más rápido que la densidad de la materia a medida que avanzamos hacia factores de escala más pequeños, sigue siendo bastante pequeña incluso para desplazamientos al rojo de hasta$\sim 100$.

Por lo tanto, para encontrar cuándo las densidades de energía de la materia y la energía oscura eran las mismas

$$\Omega_{M} (1+z)^3 = \Omega_{\Lambda}$$ $$z = \left( \frac{\Omega_{\Lambda}}{\Omega_M}\right)^{1/3} -1$$

Para los parámetros que sugiere, esto ocurre en$z= 0.326$.