Encuentra nnn de modo que f(z)={z¯¯¯nz20z≠0z=0f(z)={z¯nz2z≠00z=0f\left(z\right)=\begin{cases} \frac{\overline{z }^{n}}{z^{2}} & z\neq0\\ 0 & z=0 \end{cases} es continua pero no diferenciable en 000

me dan que:

F ( z ) = { z ¯ norte z 2 z ≠ 0 0 z = 0

es continua en 0 , pero no diferenciable allí y necesito encontrar norte . Lo que pude averiguar es

límite z → 0 F ( z ) = 0 ⟹ límite X → 0 X norte X 2 = 0 ⟹ norte > 2
Pero no veo cómo puedo ver lo que es norte el valor exacto. Obviamente tiene algo que ver con F no siendo diferenciable en 0 pero ¿cómo puedo usar ese hecho?

Respuestas (1)

Suponiendo que está buscando valores enteros de norte la respuesta es norte = 3 . Si norte > 3 entonces | F ( z ) − F ( 0 ) z − 0 | = | z | norte − 3 → 0 lo que demuestra que F es diferenciable en 0 con derivada 0 . Para norte = 3 F no es diferenciable en 0 . [¿Puedes comprobar esto?].

Sí, puedo comprobar eso.
F ′ ( 0 ) = límite z → 0 F ( z ) − F ( 0 ) z = límite z → 0 z ¯ 3 z 3
no existe porque
límite z → 0 z = X ∈ R z ¯ 3 z 3 = límite X → 0 X 3 X 3 = 1
pero
límite z → 0 z = i y ∈ i R z ¯ 3 z 3 = límite y → 0 i y 3 − i y 3 = − 1 ≠ 1 .
Encuentra nnn de modo que f(z)={z¯¯¯nz20z≠0z=0f(z)={z¯nz2z≠00z=0f\left(z\right)=\begin{cases} \frac{\overline{z }^{n}}{z^{2}} & z\neq0\\ 0 & z=0 \end{cases} es continua pero no diferenciable en 000
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