Relación entre Tiempo Coordenado y Tiempo Propio

Question

Relación entre Tiempo Coordenado y Tiempo Propio

Física
observadores
tiempo espacial
dilatación del tiempo
sistemas coordinados
relatividad general

Táptico

Mientras leía el libro de Ta-Pei Cheng sobre la relatividad, no pude derivar la relación correcta entre el tiempo coordinado $dt$ (el libro lo define como el tiempo medido por un reloj situado a las $r=\infty$ de la fuente de gravedad) y el tiempo adecuado $d\tau$ de la definición de métrica.

El libro establece que para un campo gravitatorio débil y estático, $g_{00}(r)=-\left(1+\frac{2\Phi(r)}{c^2}\right)$ (con la firma métrica $(-1,1,1,1)$ y $\Phi(r)$ es el potencial gravitatorio) y el tiempo propio $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt$ .

Por el resultado del desplazamiento al rojo gravitacional, sé que el resultado anterior es correcto (en una forma más inequívoca $d\tau=\sqrt{-g_{00}(r_\tau)}\,dt$ ).

Sin embargo, si simplemente uso la fórmula para el intervalo de espacio-tiempo $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ (suponiendo que dos relojes que miden el tiempo adecuado y coordinan el tiempo están en reposo uno con respecto al otro), tengo

d s^{2} = {gramo}_{00} (r_{τ}) C^{2} d τ^{2} = {gramo}_{00} (r_{t}) C^{2} d t^{2} = - C^{2} d t^{2} ⟹ \sqrt{- {gramo}_{00} (r_{τ})} d τ = d t

$ds^2=g_{00}(r_\tau)c^2d\tau^2=g_{00}(r_t)c^2dt^2=-c^2dt^2\\ \implies \sqrt{-g_{00}(r_\tau)}\,d\tau=dt$ Esto sugiere que el tiempo fluye más rápido con un potencial gravitacional más bajo, lo cual es incorrecto.

No estoy seguro de por qué el método anterior llevó a una conclusión incorrecta, ¿entendí mal la definición de tiempo adecuado, tiempo coordinado o intervalo de espacio-tiempo?

Actualizar:

Un error que he cometido es dejar $ds^2=g_{00}(r_\tau)c^2d\tau^2$ , que debe ser $ds^2=-c^2d\tau^2$ por definición _ Sin embargo, estoy confundido acerca de dos definiciones de $ds^2$ ahora. $ds^2=-c^2d\tau^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ , esto sugiere que $g_{00}$ es siempre $-1$ para el marco que mide el tiempo adecuado, pero en mi problema $g_{00}$ es una función de $r$ que solo es igual a $-1$ si $r=\infty$ , ¿cómo podrían dos ser verdaderos al mismo tiempo?
Asumiendo $ds^2=-c^2d\tau^2$ es cierto, como todas las respuestas señalaron que $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt$ . Pero por la definición de $g_{00}$ y $ds^2$ el $g_{00}$ utilizado aquí debe ser $-(1+2\Phi(r_t)/c^2)=-1$ , pero yo quiero $g_{00}$ aquí para estar $-(1+2\Phi(r_\tau)/c^2)$ de modo que $d τ = \sqrt{- {gramo}_{00}} d t = \sqrt{1 + 2 Φ (r_{τ}) / C^{2}} d t \approx (1 + Φ (r_{τ}) / C^{2}) d t ⟹ \frac{d τ - d t}{d t} = \frac{Φ (r_{τ})}{C^{2}} = \frac{Φ (r_{τ}) - Φ (r_{t})}{C^{2}}$ $d\tau=\sqrt{-g_{00}}\,dt=\sqrt{1+2\Phi(r_\tau)/c^2}\,dt\approx (1+\Phi(r_\tau)/c^2)\,dt\\ \implies \frac{d\tau-dt}{dt}=\frac{\Phi(r_\tau)}{c^2}=\frac{\Phi(r_\tau)-\Phi(r_t)}{c^2}$

Por favor corrígeme si he cometido algún error!

Respuestas (3)

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Rumplestillskin · Answer 1

¡Cada vez que trato de pensar en la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud o cualquier otro fenómeno extraño predicho por esta teoría extrañamente hermosa, me confundo! Por suerte, tenemos una métrica que piensa todo por nosotros. en coordenadas $x^\mu=(ct,x,y,z)$ con firma de espacio-tiempo $(+1,-1,-1,-1)$ la métrica está dada por

C^{2} d τ^{2} = d s^{2} = C^{2} d t^{2} - d {\vec{r}}^{2}

$\begin{equation} c^2d\tau^2 = ds^2 = c^2dt^2 - d\vec{r}^2 \end{equation}$ dónde

d {\vec{r}}^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2}

$d\vec{r}^2=dx^2+dy^2+dz^2$ . Si las coordenadas están parametrizadas por

τ

$\tau$ de modo que

t = t (τ), x = x (τ), y = y (τ)

$t=t(\tau), x=x(\tau), y=y(\tau)$ y

z = z (τ)

$z=z(\tau)$ entonces podemos escribir las ecuaciones anteriores como

d τ = \sqrt{d t^{2} - d {\vec{r}}^{2}}

$\begin{equation} d\tau = \sqrt{dt^2-d\vec{r}^2} \end{equation}$ que es equivalente a

d τ = d t \sqrt{1 - v^{2}}

$\begin{equation} d\tau = dt\sqrt{1-v^2} \end{equation}$ donde adoptamos una escala de tiempo para la cual

c = 1

$c=1$ y

d \vec{r} / d τ

$d\vec{r}/d\tau$ es equivalente a la velocidad y, por lo tanto, la relación entre el tiempo de coordenadas y el tiempo propio entre dos eventos en

t_{1}

$t_1$ y

t_{2}

$t_2$ es

τ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{1 - v^{2}} d t

$\begin{equation} \tau = \int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-v^2}dt \end{equation}$

Para responder a su pregunta, un intervalo de espacio-tiempo $ds^2=d\tau^2=-g_{tt}dt^2$ , se puede expresar como

d τ = \sqrt{- {gramo}_{t t}} d t,

$\begin{equation} d\tau=\sqrt{-g_{tt}}dt, \end{equation}$ por definición. Su definición del intervalo de espacio-tiempo

d s^{2}

$ds^2$ está un poco apagado, debería decir

d s^{2} = d τ^{2} = - g_{t t} d t^{2} + . . .

$ds^2=d\tau^2 = -g_{tt}dt^2+...$

Hola, tal vez no he expresado mi pregunta lo suficientemente clara, lo siento. Quiero saber por qué mi derivación de la relación entre el tiempo coordinado y el tiempo propio de las definiciones de la métrica (no la métrica plana de Minkowski) y el intervalo de espacio-tiempo es incorrecta.
supongo que en tu respuesta $g_{tt}=g_{00}$ . El problema es que dada la definición de $g_{00}(r)$ , $g_{00}(r_t)=-1$ que no es el coeficiente buscado. Tal vez podría ampliar aún más lo que quiere decir con $g_{tt}$ con su expresión explícita. Además, no estoy seguro de qué representan los puntos suspensivos al final, dé una explicación más detallada, ¡gracias!
Sí, $g_{tt}=g_{00}$ . Alterno entre la notación para mantenerme cuerdo :) Hmmmm, ahora estoy confundido. Por que es $g_{00}(r)=g_{00}(r_t)=-1$ ? En tu pregunta dices $ds^2 = g_{00} d\tau^2 = g_{00}dt^2$ . Esto es incorrecto. Esta declaración está equiparando el tiempo propio y el tiempo coordinado. El elemento de línea debe leer $d s^{2} = d τ^{2} = {gramo}_{00} d t^{2} - d {\vec{r}}^{2}$ $ds^2 = d\tau^2 = g_{00}dt^2 - d\vec{r}^2$ dónde $c=1$ . ¿Me sigues?
Sí, pero $g_{00}$ es una función del potencial gravitatorio ( $g_{00}(r)=-\left(1+\frac{2\Phi(r)}{c^2}\right)$ ) que depende de la posición radial. Entonces los dos $g_{00}$ que se utilizan tienen diferentes valores (indiqué que a través del uso de $g_{00}(r_\tau)$ y $g_{00}(r_t)$ en lugar de solo $g_{00}$ ). Según el libro, la coordenada del tiempo $dt$ se mide en $r=\infty$ , poner eso en la fórmula para $g_{00}$ tenemos $-1$ .( $g_{00}(r)\neq g_{00}(r_t)=-1$ ) Además, en esta pregunta la suposición de que dos relojes que están en reposo uno respecto del otro implica $d\mathbf{r}=0$ .
Sí, seguro. ver el final de mi respuesta. Estás mezclando el tiempo adecuado y el tiempo coordinado. la métrica debe leer $d\tau^2=g_{00}dt^2$ . Ver la parte inferior de mi respuesta.

usuario1887919 · Answer 2

Su error es donde simplemente usa la fórmula para el intervalo de tiempo de espacio. Creo que acaba de confundir su $dt$ 'arena $d\tau$ 's.

Establezca la firma métrica para que sea $(-1,1,1,1,)$ . Entonces para $dr=d\theta=d\phi = 0$ el intervalo de espacio-tiempo se puede escribir,

d s^{2} = - C^{2} d τ^{2} = {gramo}_{00} C^{2} d t^{2}

$ds^2 = -c^2 d\tau^2 = g_{00} c^2 dt^2$

y entonces

d τ = \sqrt{- {gramo}_{00}} d t

$d\tau = \sqrt{-g_{00}} dt$

que es el resultado original que obtuviste antes.

Aclaración según lo solicitado en los comentarios:

Tenga claro que la firma métrica $(-1,1,1,1)$ no es equivalente al valor de los componentes métricos $g_{\mu \nu}$ . Permítanme ser explícito:

Si tomamos entonces métrica para tener firma $(-1,1,1,1)$ entonces podemos escribir los componentes temporales de la métrica de schwarzchild como:

{gramo}_{00} = - (1 - \frac{r_{s}}{r})

$g_{00} = -\left( 1 - \frac{r_s}{r}\right)$

dónde

r_{s} = \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2}}

$r_s = \frac{2GM}{c^2}$

Ahora, dado que podemos aproximar GR por gravedad newtoniana en el régimen de campo débil, podemos decir que el potencial es,

Φ = - \frac{GRAMO METRO}{r}

$\Phi = - \frac{GM}{r}$

que sustituye en $g_{00}$ dar,

{gramo}_{00} = - (1 + \frac{2 Φ}{C^{2}})

$g_{00} = - \left( 1+ \frac{2 \Phi}{c^2}\right)$

pero esto no es igual a -1 , que es simplemente la firma del componente métrico. Pero al usar $g_{00} = -(1+2\Phi/c^2)$ , ha elegido utilizar la firma métrica (-1,1,1,1).

¿Podría dar una expresión explícita para el $g_{00}$ usaste arriba? Lo es $-\left(1+\frac{2\Phi(r_\tau)}{c^2}\right)$ o $-\left(1+\frac{2\Phi(r_t)}{c^2}\right)=-1$ ? El resultado correcto debería ser el primero, sin embargo, obtuve el último de $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^{\nu}$ .
Ahhhhh ya veo donde te equivocas!! Los componentes del tensor métrico no son iguales a $(-1,1,1,1)$ . Esa es su señal. El $g_{00}$ es igual a $1-2\Phi/c^2$
No he asumido los componentes del tensor métrico como $(-1,1,1,1)$ , lo único que he usado es $g_{00}=-(1+2\Phi/c^2)$ . si uso $g_{00}=1-2\Phi/c^2$ entonces $-g_{00}$ siempre es negativo (ya que $\Phi\leq 0$ ), lo cual es definitivamente incorrecto.
Simplemente está mezclando su tiempo coordinado y el tiempo adecuado, eso es todo.
Tal vez no estoy entendiendo. De hecho, tengo una copia del libro. ¿A qué página y sección te refieres?
Yo dejo $g_{00}=-1$ solo porque primero depende de $r$ , segundo por $r=r_t=\infty,\Phi=0$ , entonces uso la definición de $g_{00}$ para dejarlo ser $-1$ pero esto solo es cierto para $g_{00}(r_t)$ .

Eduardo · Answer 3

La respuesta proporcionada por Rumplestillskin es correcta.

d τ = \sqrt{1 - \frac{r_{gramo}}{r}} d t

$d\tau = \sqrt{1-\frac{r_g}{r}} dt$ pero solo es válido para el reloj que reside estáticamente en la gravedad a una distancia de coordenadas

r

$r$ desde el centro Para relojes en movimiento en las coordenadas de Schwarzschild, por ejemplo en caída libre radial, la relación entre el tiempo propio y el tiempo de coordenadas es diferente

d τ = d t + \sqrt{\frac{r_{gramo}}{r}} (1 - \frac{r_{gramo}}{r})

$d\tau=dt+\sqrt{\frac{r_g}{r}}\left(1-\frac{r_g}{r}\right)$

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Eduardo

¿Cómo se obtiene la dilatación del tiempo de g00g00g_{00} en general y de la métrica de Schwarzchild en particular?

¿Por qué dτdτd\tau en lugar de dtdtdt denota el momento adecuado? ¿Es una definición?

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