¿Cómo obtener la prescripción iϵiϵi\epsilon para un propagador de fantasmas Faddeev-Popov?

Question

¿Cómo obtener la prescripción iϵiϵi\epsilon para un propagador de fantasmas Faddeev-Popov?

jia yiyang

En el formalismo de la integral de caminos, para un campo físico habrá un $i\epsilon$ término en la acción, que proviene de identificar el vacío de entrada y salida, y a su vez este $i\epsilon$ aparecerá naturalmente en el denominador del propagador correspondiente. Sin embargo, para el fantasma FP, solo se introduce para reescribir el determinante funcional en forma exponencial, y el problema de identificar un vacío fantasma de entrada y salida nunca entra en escena, por lo tanto, no $i\epsilon$ término en la parte fantasma de la acción. Sin embargo, todos los propagadores de fantasmas que he visto tienen un $i\epsilon$ en el denominador, entonces, ¿de dónde viene?

Voluntad

El

i ϵ

$i\epsilon$ la prescripción no parece depender del propagador del que esté hablando. Se introduce naturalmente al calcular el propagador libre de Feynman para cualquier campo. No necesitamos referirnos a los estados de entrada y salida en absoluto. Surge al escribir (ejemplo campo escalar)

⟨ 0 | T {ϕ_{1} (x) ϕ_{2} (y)} | 0 ⟩

$\langle 0 |T\{ \phi_1(x) \phi_2(y) \}| 0\rangle$ como una transformada de Fourier del resultado del espacio de cantidad de movimiento. Es decir, calculas en el espacio de posición y lo reorganizas para obtenerlo en la forma

\int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} (p r o p a g a t o r)

$\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} (propagator)$ .

Voluntad

A lo que me refiero se aplica al enfoque del operador para QFT: no estoy seguro de cómo obtiene el

i ϵ

$i\epsilon$ en la integral de trayectoria, pero dado que son métodos equivalentes, ¿debería poder obtener el mismo resultado, de alguna manera? Esto parece una pequeña paradoja divertida.

prahar

@Will: en el enfoque Path Integral, de hecho obtienes el

i ϵ

$i \epsilon$ prescripción como aporte de los estados In y Out. Los dos métodos son equivalentes y, por lo tanto, deberíamos poder deducir la

i ϵ

$i \epsilon$ prescripción para los fantasmas sin tener que invocar el enfoque del operador en absoluto, ¿verdad?

Voluntad

El problema de @Prahar the OP es que no debería haber estados de entrada y salida de fantasmas. Bueno, al menos, creo que ese es el problema.

Voluntad

(Porque no son partículas físicas).

Voluntad

Hmmm... incluso en el enfoque del operador asumimos que los fantasmas están dentro y fuera de los estados en la teoría libre . Parece que la única manera de conseguir el

i ϵ

$i\epsilon$ El término es hacer esto, pero con la restricción de que los fantasmas nunca están dentro y fuera de los estados en el vacío completo (es decir, no los use como estados externos). ¿Pueden otros comentar sobre esto?

Diego Mazón

Física relacionada.stackexchange.com/q/44250

Respuestas (1)

¿Cómo obtener la prescripción iϵiϵi\epsilon para un propagador de fantasmas Faddeev-Popov?

El $i\epsilon$ la prescripción no parece depender del propagador del que esté hablando. Se introduce naturalmente al calcular el propagador libre de Feynman para cualquier campo. No necesitamos referirnos a los estados de entrada y salida en absoluto. Surge al escribir (ejemplo campo escalar) $\langle 0 |T\{ \phi_1(x) \phi_2(y) \}| 0\rangle$ como una transformada de Fourier del resultado del espacio de cantidad de movimiento. Es decir, calculas en el espacio de posición y lo reorganizas para obtenerlo en la forma $\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} (propagator)$ .
A lo que me refiero se aplica al enfoque del operador para QFT: no estoy seguro de cómo obtiene el $i\epsilon$ en la integral de trayectoria, pero dado que son métodos equivalentes, ¿debería poder obtener el mismo resultado, de alguna manera? Esto parece una pequeña paradoja divertida.
@Will: en el enfoque Path Integral, de hecho obtienes el $i \epsilon$ prescripción como aporte de los estados In y Out. Los dos métodos son equivalentes y, por lo tanto, deberíamos poder deducir la $i \epsilon$ prescripción para los fantasmas sin tener que invocar el enfoque del operador en absoluto, ¿verdad?
El problema de @Prahar the OP es que no debería haber estados de entrada y salida de fantasmas. Bueno, al menos, creo que ese es el problema.
Hmmm... incluso en el enfoque del operador asumimos que los fantasmas están dentro y fuera de los estados en la teoría libre . Parece que la única manera de conseguir el $i\epsilon$ El término es hacer esto, pero con la restricción de que los fantasmas nunca están dentro y fuera de los estados en el vacío completo (es decir, no los use como estados externos). ¿Pueden otros comentar sobre esto?

Trimok · Answer 1

Trimok

Integrales de trayectoria bosónica:

Z = \int D ϕ {mi}^{- i \int d X [\frac{1}{2} ϕ (◻ + {metro}^{2}) ϕ]}

$Z = \int D\phi ~e^{-i \large \int ~ dx [\frac{1}{2}\phi (\square+m^2)\phi]}$

o Integrales de trayectoria femiónica (como los fantasmas de Fadeev-Popov):

Z = \int D η D \tilde{η} {mi}^{- i \int d X [{\tilde{η}}^{a} ◻ η^{a}]}

$Z = \int D\eta D \tilde \eta ~e^{-i \large \int ~ dx [\tilde \eta^a \square \eta^a]}$

no están matemáticamente bien definidas, debido a la presencia de la unidad imaginaria en la exponencial.

Para asegurar la convergencia y el significado de estas expresiones, la prescripción es entonces:

◻ + {metro}^{2} \to ◻ + {metro}^{2} - i ϵ

$\square + m^2 \rightarrow \square + m^2 - i\epsilon$ Cuando

m = 0

$m=0$ , esto simplemente da la prescripción:

◻ \to ◻ - i ϵ

$\square \rightarrow \square - i\epsilon$

Obviamente, la forma de los propagadores viene directamente de esta prescripción.

Voluntad

¡¡¡Ay!!! Acababa de resolver eso y estaba a punto de escribir mi solución. :) +1

prahar

No creo que eso sea correcto. Si bien es cierto que el

i ϵ

$i \epsilon$ la prescripción asegura la convergencia, no se introduce ad hoc sólo para asegurar la convergencia. De hecho, los estados Adentro y Afuera proporcionan precisamente la contribución extra de

+ i ϵ

$+i \epsilon$ que al final hace que todo funcione. Ahora, al hacer la integral de la ruta fantasma, no está claro dónde una contribución similar de

+ i ϵ

$+i \epsilon$ debe venir ya que uno no tiene estados fantasma de entrada y salida. Mi argumento para esto fue que, de hecho, tenemos estados fantasma de entrada y salida, pero que no contribuyen a ninguna amplitud física. ¿Cualquier comentario?

Voluntad

¡Oh, no! Esto parece correcto en la superficie, pero estoy de acuerdo con Prahar en que está utilizando efectivamente los estados de entrada y salida para obtener esto.

i ϵ

$i\epsilon$ prescripción definida por la integral de trayectoria. Creo que una respuesta precisa requerirá una derivación cuidadosa desde cero, comenzando con el método de fijación del indicador FP.

Trimok

@Prahar: "Si bien es cierto que la prescripción iϵ garantiza la convergencia, no se introduce ad hoc solo para garantizar la convergencia". En absoluto, esto es precisamente para asegurar la convergencia que el

i ϵ

$i\epsilon$ se introduce la prescripción. Sin eso, la coherencia de QFT sería simplemente incorrecta. Este es el mismo truco que la rotación Wick que te lleva a una Acción Euclidiana.

S_{E}

$S_E$ que tiene que ser positivo.

prahar

@Trimok: estoy de acuerdo en que el

i ϵ

$i\epsilon$ se requiere prescripción para que la integral de trayectoria converja. No estoy discutiendo eso. Además, la rotación de Wick a una acción euclidiana también es posible solo debido a la presencia de la

i ϵ

$i\epsilon$ . Sin embargo, no creo que se introduzca "a mano". Se sigue de la derivación de la integral de trayectoria del formalismo del operador. Es el orden de tiempo en el lado del operador lo que nos dice exactamente qué prescripción de

i ϵ

$i\epsilon$ de usar y se puede hacer una derivación de esta prescripción. Por lo tanto, no hay introducción ad hoc de

i ϵ

$i\epsilon$ se requiere.

prahar

@Trimok: de hecho, creo que esa es precisamente la pregunta de los OP. Mientras que la

i ϵ

$i\epsilon$ la prescripción se puede derivar para los campos habituales, parece salir naturalmente usando el procedimiento FP. O no estamos siendo cuidadosos o hay que introducirlo a mano esta vez. La segunda opción no me parece atractiva. Pero tal vez eso es lo que se requiere hacer. Nótese que a menudo se DEFINE la teoría utilizando la integral de trayectoria fija calibrada (con la

i ϵ

$i\epsilon$ prescripción) sin ninguna referencia a la acción original. En este caso, esta pregunta no surge.

jia yiyang

@Trimok: Prahar me entiende correctamente. Además, soy un poco escéptico sobre el argumento de la convergencia, para los campos bosónicos, por supuesto, no hay problema, pero para los campos de hierba no estoy seguro de cómo se define la convergencia.

Trimok

@JiaYiyang: El propagador de fantasmas es

◻^{- 1}

$\square^{-1}$ , mientras es

(◻ + m^{2})^{- 1}

$(\square + m^2)^{-1}$ para un campo escalar, por lo que es el mismo tipo de problema.

Trimok

@Prahar: El formalismo integral de la ruta es el más fundamental, si bien es cierto que el formalismo del operador es más práctico en muchos casos. La presentación de Zee (Teoría cuántica de campos en pocas palabras) es muy clara y muy impresionante al respecto.

jia yiyang

@Trimok: pensé que estabas hablando de la convergencia de la integral gaussiana, pero si estabas hablando de la convergencia del propagador, entonces ambos

{(◻ + i ϵ)}^{- 1}

${(\square+i\epsilon)}^{-1}$ y

{(◻ - i ϵ)}^{- 1}

${(\square-i\epsilon)}^{-1}$ me parecen igualmente válidos.

Trimok

@JiaYiyang: no es lo mismo, vea los propagadores de Feyman , porque la idea es poder realizar una rotación de Wick, entonces, si define la rotación de Wick como una rotación con un ángulo positivo

90 °

$90°$ , es posible con la receta que di. Con la otra receta, estás atascado.

jia yiyang

@Trimok: Permítanme decirlo de esta manera: ¿cuál es la razón para realizar una rotación de Wick? ¿Se aplica la misma razón a los campos fantasma?

Trimok

De hecho, la prescripción

- i ϵ

$-i\epsilon$ permite una rotación de Wick, y una rotación de Wick corresponde a integrales de trayectoria euclidiana:

Z = \int D ϕ e^{- \int d x [\frac{1}{2} ϕ (P_{0}^{2} + {\vec{P}}^{2} + m^{2}) ϕ]}

$Z = \int D\phi ~e^{- \large \int ~ dx [\frac{1}{2}\phi (P_0^2+\vec P^2+m^2)\phi]}$ y

Z = \int D η D \tilde{η} e^{- \int d x [{\tilde{η}}^{a} (P_{0}^{2} + {\vec{P}}^{2}) + η^{a}]}

$Z = \int D\eta D \tilde \eta ~e^{- \large \int ~ dx [\tilde \eta^a (P_0^2+\vec P^2)+ \eta^a]}$ , dónde

P_{0}, \vec{P}

$P_0, \vec P$ son operadores.

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