¿Determinar el grupo asociado a un potencial dado?

Estoy tratando de entender cómo se relacionan los grupos de simetría con los potenciales de la ecuación de Schrödinger. En particular, deseo saber si es posible encontrar el grupo de simetría de este potencial.

V ( X ) = A 0 + A 1 X + A 2 X 2 − 9 4 X 4

dónde A 0 , A 1 , A 2 ∈ R

He intentado ver si está relacionado con el grupo SO(3) y el grupo unitario U(1), pero ninguno parece posible. Hice esta pregunta porque viniendo de una formación matemática pura, me está costando mucho tratar de entender esto.

Sinceramente, no tengo idea de qué hacer. Soy un estudiante graduado de física matemática de primer año, y esperaba que alguien pudiera ofrecer un enlace que explique esto.
No digo que necesites saber cómo encontrar la respuesta, pero si realmente no has hecho nada, no estamos realmente incentivados para ayudarte. ¿Qué es lo que no entiendes de esta pregunta? ¿Es un término con el que no está familiarizado o un procedimiento matemático que no sabe cómo aplicar? ¿Qué paso te confunde? Algunos de los consejos de nuestra política de tareas pueden ser útiles para mejorar la pregunta, independientemente de si se trata realmente de una tarea.
Estoy más interesado en el procedimiento matemático a aplicar. Deseo saberlo en aras de comprender los trabajos de investigación.
OK, bueno, ¿qué has hecho para tratar de averiguar qué procedimiento matemático necesitas? Por ejemplo, ¿sabe qué son los grupos de simetría y las transformaciones de simetría?
sí. He intentado ver si está relacionado con el grupo SO(3) y el grupo unitario U(1), pero ninguno parece posible. Hice esta pregunta porque viniendo de una formación matemática pura, me está costando mucho tratar de entender esto.
¿Has probado algunos grupos para ver si son el grupo de simetría del potencial? Debe mencionar eso en la pregunta y dar una descripción general de lo que intentó mostrar cómo determinó que no funcionan. Trate de reducirlo tanto como sea posible a un problema específico que tenga.
Muy bien, lo recordaré cuando publique aquí de nuevo. ¿Conoce algún libro que brinde una descripción general de estos aspectos de la teoría de grupos a las ecuaciones diferenciales o problemas de mecánica cuántica en general (específicamente la ecuación de Schrödinger)?
No es casualidad, pero si tiene acceso a Physics Chat, ese sería un lugar ideal para pedir sugerencias de libros.
@ user119264 edite lo que dijo en los comentarios en la pregunta. Es una pregunta legítimamente interesante, luego votaré para reabrir cuando lo haya hecho.
Me gustaría ver la respuesta a esta pregunta. Dibujé la gráfica de V ( X ) y no podía ver ninguna simetría obvia. Supongo que el grupo de simetría es el grupo de transformaciones que dejan V ( X ) sin cambios, pero no es obvio para mí cuáles son.
¿Por qué debería haber un grupo de simetría?
¿Por qué debería haber un grupo de simetría? Dado que V es cuartico en x, puede escribirlo como V(x)=(-9/4)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4), donde se conocen los x_j. Tal vez esto ayude.
@user119264: Puede encontrar útil la página de la teoría de la representación de Vedensky en cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/courses.html . Si estás hablando de simetrías afines como V ( α X + β ) = V ( X ) para constantes α , β , entonces uno visualmente obvio ocurre cada vez que A 1 = 0 . Más allá de eso, puede tomar algunos retoques.
También el A 0 constante no es necesario, por lo que puede omitirlo. En el caso de que A 1 = 0 , tu en particular tienes eso V ( α + β ) = V ( 1 ) , V ( 2 α + β ) = V ( 2 ) , V ( 3 α + β ) = V ( 3 ) , para que puedas resolver α , β vía rule = x -> (a x + b); Solve[((A2 x^2 + A4 x^4 == (A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. x -> 1) && ((A2 x^2 + A4 x^4 == (A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. x -> 3) && ((A2 x^2 + A4 x^4 == (A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. x -> 2), {a, b}], que produce las simetrías de paridad e identidad {{a -> -1, b -> 0}, {a -> 1, b -> 0}}.
Puede jugar rule = x -> (a x + b); rule2 = {A1 -> 6, A2 -> 3, A4 -> 1}; Reduce[(((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 1) && (((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 2) && (((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 3), {a, b}]y cambiar los valores de A 1 , A 2 , A 4 . A partir de la experimentación y la visualización, es evidente que las únicas simetrías parecen ser la paridad (para ciertos valores de A 1 , A 2 , A 4 ) e identidad.
es posible que pueda estar relacionado con el s yo ( 2 ) ¿grupo?
Publicaré mis comentarios como una especie de "respuesta", tal vez las personas puedan comentar si encuentran errores.
Chicos, he hecho algo así como un gran avance. Este potencial está relacionado con la ecuación diferencial en la última pregunta que publiqué. Si alguien puede responder eso, entonces tendremos la respuesta a esto.

Respuestas (1)

Es cierto que esta es una respuesta incompleta, ya que no trabajo en este tipo de física, pero se pueden señalar un par de cosas. Primero, ¿qué tipo de simetrías estás buscando? Este es un ejemplo unidimensional y no es periódico, así que a menos que estés buscando algo loco, lo más fácil de buscar es una simetría afín de la forma V ( α X + β ) = V ( X ) . Las imágenes pueden ayudar:

Plot[x^1 + x^2 + x^4, {x, -1.5, 1.4}]
Plot[-x^1 - x^2 + x^4, {x, -1.5, 1.7}]
Plot[-x^2 + x^4, {x, -1.7, 1.7}]

ingrese la descripción de la imagen aquí ingrese la descripción de la imagen aquí ingrese la descripción de la imagen aquí

Se podría conjeturar que las funciones no tienen simetría afín o tienen simetría de reflexión. No probaré eso, pero daré un código (la explicación se puede encontrar en la sección de comentarios) que muestra que este es el caso para varias entradas de A 1 , A 2 , y A 4 (obviamente A 0 es irrelevante):

rule = x -> (a x + b); rule2 = {A1 -> 6, A2 -> 3, A4 -> 1}; 
Reduce[(((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 1) && (((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 2) && (((A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 == (A1 x + A2 x^2 + A4 x^4 /. rule)) /. rule2) /. x -> 3), {a, b}]

Obtendrá solo la identidad o la transformación de identidad y paridad para la mayoría de los valores de A 1 , A 2 , A 4 . Si alguien conoce una forma más rigurosa de mostrar esto, o ve que lo que escribí está mal, por supuesto que lo publique. Creo que puede probarlo al notar que si asume que el grupo de simetría es finito (lo que parece razonable), entonces también debe tener que el conjunto X , T ( X ) , T ( T ( X ) ) , . . . es finito, donde T ( X ) = α X + β . Desde T norte ( X ) = α norte X + α norte − α α − 1 β = X por algún valor de norte , debes tener α ser una raíz de unidad.

Si descarta temporalmente la posibilidad de una posición de valor complejo, se deduce que los únicos valores posibles de α son ± 1 .

Si α = 1 , entonces dado que el potencial no es invariante tras la traducción, debe tener β = 0 , dando la transformación de identidad.

Si α = − 1 , entonces es un poco más complicado, pero es intuitivamente obvio que β = 0 es la única posibilidad, ya que el potencial es visualmente invariante hasta una traslación bajo una reflexión si y solo si A 1 = 0 . Entonces obtienes paridad iff A 1 = 0 .

La pregunta está lejos de mi conocimiento, pero ¿todo potencial tiene un grupo de simetría asociado?
No muy seguro. En el curso de teoría de grupos de Vedensky se muestra que las posibles degeneraciones de los estados cuánticos asociados con un potencial son las dimensionalidades de las representaciones irreducibles que son inducidas por el grupo de simetría asociado con ese hamiltoniano (o al menos en ausencia de degeneración accidental). En resumen, la degeneración suele ser consecuencia de grupos de simetrías no triviales. Si algún potencial tiene una simetría puede depender de cómo defina "simetría", y no soy físico (soy químico), así que no soy un experto en esto.
¿Determinar el grupo asociado a un potencial dado?
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