Determinación numérica de espectros de estados de borde

Simple, combina tanto real como$\mathbf{k}$-fotos del espacio! La idea básica es dividir su$n$-sistema dimensional en múltiples$(n-1)$-sistemas dimensionales. Por ejemplo, supongamos que tiene una red cuadrada 2D y define sus bordes a lo largo de la$x$-dirección. Luego, debe dividir la red 2D en redes 1D que apuntan en el$x$-dirección. En otras palabras, necesitas romper la simetría traslacional en el$y$-dirección. En aras de la simplicidad (analítica), considere el modelo discutido en:

Markus König, Hartmut Buhmann, Laurens W. Molenkamp, ​​Taylor Hughes, Chao-Xing Liu, Xiao-Liang Qi y Shou-Cheng Zhang. " El efecto Hall del giro cuántico: teoría y experimento ". Revista de la Sociedad Física de Japón 77 , no. 3 (2008): 031007. ( arXiv )

En la ecuación. (10) tienen un$\mathbf{k}$-modelo espacial, también conocido como modelo Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ), de todo el sistema 2D

$${\cal H}=\sum_{\mathbf{k}}\left(A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+A\sin(k_{y})\Gamma^{2}+{\cal M}(\mathbf{k})\Gamma^{5}\right)c_{\mathbf{k}}^{\dagger}c_{\mathbf{k}}$$ dónde $M(\mathbf{k})=M-2B\left(2-\cos(k_{x})-\cos(k_{y})\right)$y la constante de red se ha establecido en 1. El siguiente paso, como Eq. (11) indica, es la transformación de Fourier de regreso al espacio real en solo el $y$-dirección pero dejar el $x$-dirección sin cambios. Eso es lo que quise decir cuando dije que "combinamos real- y $\mathbf{k}$-imágenes espaciales.” En otras palabras, estamos rompiendo la simetría traslacional solo en el $y$-dirección. Esto se hace sustituyendo la Ec. (11), que se repite aquí por conveniencia, en la ecuación anterior $$c_{\mathbf{k}}=\frac{1}{L}\sum_{j}e^{ik_{y}j}c_{k_{y},j}$$ dónde $j$es la coordenada de la red (o cadena 1D) en el $y$-dirección y $y=0,1,2,\dots L$. En este ejemplo $L$no importará tanto; pero lo hará cuando calcule la dispersión numéricamente. Un plug-and-play de fuerza bruta ofrece

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L^{2}}\sum_{k_{x}k_{y}}\left[A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\frac{A}{2i}\left(e^{ik_{y}}-e^{-ik_{y}}\right)\Gamma^{2}\right. \\ \left.+\left(M-2B\left(2-\cos(k_{x})-\frac{1}{2}\left(e^{ik_{y}}+e^{-ik_{y}}\right)\right)\right)\Gamma^{5}\right]\sum_{\ell}e^{-ik_{y}\ell}c_{k_{x},\ell}^{\dagger}\sum_{j}e^{ik_{y}j}c_{k_{x},j}$$

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\left[A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\left(M-4B+2B\cos(k_{x})\right)\Gamma^{5}\right]c_{k_{x},j}^{\dagger}c_{k_{x},j} \\ +\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\left(-\frac{iA}{2}\Gamma^{2}+B\Gamma^{5}\right)c_{k_{x},j+1}^{\dagger}c_{k_{x},j}$$

$$\mathcal{H} = \frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{M}(k_{x})c_{k_{x},j}^{\dagger}c_{k_{x},j}+\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{T}^{\dagger}c_{k_{x},j+1}^{\dagger}c_{k_{x},j}+\frac{1}{L}\sum_{k_{x}}\sum_{j}\mathcal{T}c_{k_{x},j-1}^{\dagger}c_{k_{x},j}$$

dónde$\mathcal{M}(k_{x})=A\sin(k_{x})\Gamma^{1}+\left(M-4B+2B\cos(k_{x})\right)\Gamma^{5}$y$\mathcal{T}=(iA/2)\Gamma^{2}+B\Gamma^{5}$y hemos hecho uso de la función delta identidad del tipo

$$\frac{1}{L}\sum_{k_{y}}e^{ik_{y}(j-\ell\pm1)}=\delta_{j-\ell\pm1}$$ varias veces. Con el ansatz en la Ec. (15), es decir $\psi_{\alpha}(j)=\lambda^{j}\phi_{\alpha}$, se puede obtener una solución analítica de los estados de borde (ver Ec. (22)). La solución de la ecuación de valor propio usando este ansatz se ha discutido elegantemente en la sección 2.2 de:

G. Tkachov y EM Hankiewicz. " Transporte espín-helicoidal en aisladores topológicos normales y superconductores ". estado físico solidi (b) 250 , no. 2 (2013): 215. ( arXiv )

y no lo repetiré aquí. En el caso del grafeno, como comentan Kane y Mele, no somos tan afortunados. En ese caso, necesitamos diagonalizar el hamiltoniano anterior numéricamente eligiendo$L$= 50-100. El principal criterio para determinar$L$se asegura de que la función de onda del estado de borde se superponga en los límites opuestos ($y$=0 y$y=L$) es despreciable. Mi suposición es que solo lo descubres por prueba y error.

Otra diferencia principal entre BHZ y el modelo Kane-Mele es que en el modelo Kane-Mele tenemos la complejidad añadida de determinar si tenemos un límite en zig-zag o sillón. Dependiendo de la elección que hagamos, debemos definir los sistemas 1D en consecuencia; obviamente no serán líneas rectas, como en BHZ, y dependerán de si rompes la simetría traslacional en el$x$- o$y$-dirección.

Espero que haya ayudado.

PD : Sé que me salté un montón de pasos en las manipulaciones algebraicas anteriores y remití el resto de la solución al documento anterior. Por si te interesa podría subir un documento PDF con todos los pasos.