¿Qué significa en términos de estructura de banda cuando decimos que cualquier invariante topológica de algún sistema es distinto de cero? Por ejemplo, ¿qué significa cuando decimos que el número de Chern = 1 en el caso de IQHE?
¿Significa que hay bandas de tiempo invariantes topológicas que cruzan el nivel de Fermi?
La dinámica de los sistemas físicos se rige por ecuaciones diferenciales. Como tal, por lo general significa que la evolución es una función continua y única de los parámetros iniciales o de frontera y del tiempo. Las trayectorias no se cruzan, las diferentes soluciones no coinciden, etc. La topología es una parte de las matemáticas que se ocupa de los cambios continuos de objetos. Por ejemplo, puede tener una hoja de papel y doblar origami. Mientras no uses tijeras y no arranques papel, estás haciendo transformaciones continuas. Tal vez incluso mejor deberías pensar en el origami de goma estirado y comprimido, pero no pegado o rasgado. En tales sistemas, si comienza con alguna configuración topológica peculiar, por ejemplo, un anillo (piense: trayectoria periódica cerrada), puede cambiar mucho, volviéndose incluso complicado y caótico, pero sigue siendo un anillo, doblado de manera muy complicada. De hecho, uno de los números conservados topológicamente más simples es el número de bobinado que cuenta cuántas veces se enrolla el anillo (piense en el sistema en el que en el centro de los anillos del que estamos hablando hay algo que no se puede pasar, como un punto de energía cero en el sistema que no puede relajar su energía al entorno, por ejemplo. Recuerde: ¡estamos hablando de espacio de fase, no de espacio de configuración!). En tales sistemas, el número de vueltas, digamos igual a 1, significa que la trayectoria gira una vez alrededor de dicho centro en el espacio de fase. Número de devanado igual a 2, gira 2 veces, etc. ¡Es posible que diferentes números de devanado signifique energía diferente! Por ejemplo, puedes pensar en un cinturón de acero. Bobinado significa que forma una especie de hélice. Si se respira el tiempo suficiente, puede tener algo de energía.
Pero como está de acuerdo en que debe enrollarlo un número particular de veces (probablemente porque debe atar sus extremos de alguna manera particular, evitando que se desenrolle), ¡este sistema tendrá un espectro de energía discreto! Y las bandas de energía se separaron unas de otras.
Entonces, las invariantes topológicas pueden conducir a la separación de trayectorias en el espacio de fase, de tal manera que se crea algún orden adicional. Incluso se le llama transición de fase topológica, porque si la dinámica está cambiando, este orden puede romperse dando un cambio drástico en el comportamiento del sistema.
La estructura de bandas que se menciona es una de las señales de tal orden adicional. Puede mostrarse como energía, impulso, orden espacial, etc./bandas.
Pueden ocurrir fenómenos muy similares en redes cristalinas, semiconductores, sistemas cuánticos, dinámica no lineal, dinámica de polímeros, fases de baja temperatura donde la energía por partícula es tan pequeña y los sistemas están aislados para que no se rompa el acoplamiento cuántico, etc.
Lo más importante es que las cantidades topológicas conservadas generalmente son independientes de varias características físicas, y generalmente dependen solo de una estructura muy básica del sistema: su configuración topológica. Y por supuesto, normalmente esto depende de relaciones continuas definidas en el sistema. Si alguno de los parámetros se vuelve no continuo por alguna razón, la conservación topológica se rompe.