¿Es este un invariante topológico Z2Z2\mathbb Z_2 (Majorana-) en *cualquier* dimensión?

Considere un hamiltoniano superconductor que no interactúa en una dimensión arbitraria. Esto se expresa más convenientemente en términos de modos de Majorana, que se definen como

γ 2 norte − 1 = C norte + C norte †  y  γ 2 norte = − i ( C norte − i C norte † )
para cada modo fermiónico complejo C norte . Por conveniencia etiquetamos norte = 1 , 2 , ⋯ norte dónde norte es nuestro número de sitios, pero no estoy suponiendo una estructura unidimensional (es decir, no impongo una noción de localidad con respecto a este etiquetado). Entonces, un hamiltoniano genérico se escribe como
H = i ∑ norte , metro γ norte A norte metro γ metro
dónde A ∈ R 2 norte × R 2 norte es antisimétrico: A T = − A .

Requerir un espacio por encima del estado fundamental es equivalente a exigir que det A ≠ 0 . (De hecho: los valores propios positivos de A decirnos las energías de excitación de una sola partícula.) Pero en ese caso el signo de la Pfaffian de A es una cantidad bien definida (es decir, por favor A det A ).

Esto aparentemente da una topológica Z 2 invariante, independiente de la dimensionalidad! Pero esto debe estar mal, ya que la clasificación de aisladores/superconductores topológicos que no interactúan nos dice que esta clase de hamiltonianos ('clase D') solo tiene un Z 2 invariante cuando la dimensión del espacio es d = 1 modificación 8 .

Respuestas (1)

[Descargo de responsabilidad: la conclusión me parece un poco sorprendente, así que tal vez sea provisional, pero no veo otra salida.]

Como señaló Kitaev (cf. ecuación (19) de su artículo seminal ), lo anterior Z 2 invariante de hecho simplemente es igual a la paridad fermiónica (= paridad del número de fermiones) del estado fundamental, es decir PAG | ψ ⟩ = ± | ψ ⟩ . Esto es consistente con lo que sabemos de la cadena Kitaev/Majorana: con condiciones de frontera cerradas, la paridad fermiónica del estado fundamental es − 1 .

Esto deja en claro que lo anterior Z 2 ¡invariante está bien definido en cualquier dimensión ! La única salida debe ser: en, por ejemplo, dimensiones d = 3 , 4 , 5 , 7 (para el cual la 'clase D' solo tiene una fase trivial de acuerdo con la tabla de clasificación, cf Tabla 3 del artículo de Ryu et al. ) debe ser imposible escribir un hamiltoniano para el cual el estado fundamental tiene un número impar de fermiones. (Tendría que haber algunas condiciones sobre esto para que sea preciso: por ejemplo, ' para un número par de sitios ', ' con un límite termodinámico bien definido ', ...)

En resumen: el Z 2 invariante está bien definido, pero no siempre se puede encontrar un ejemplo que realice un valor no trivalente.

Considere el ejemplo mucho más fácil de las clases complejas de la tabla: siempre se puede definir un número de devanado, pero es distinto de cero solo si la BZ es de dimensión impar.
Seguro que puedes encontrar sistemas de paridad impar en cualquier dimensión: simplemente apila las cadenas de Kitaev una encima de la otra de forma adecuada. Esto podría insinuar una resolución: no todos los invariantes se manifiestan de la misma manera en el límite. En particular, los grupos en la tabla periódica son invariantes fuertes , asociados a los ciclos dim superiores en la BZ (en la física invariante de traducción que no interactúa). Hay muchos más invariantes débiles asociados a los más bajos.
¿Es este un invariante topológico Z2Z2\mathbb Z_2 (Majorana-) en *cualquier* dimensión?
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