Derivación de la fórmula de Kubo para la conductancia Hall

Question

Derivación de la fórmula de Kubo para la conductancia Hall

Física
muchos cuerpos
materia Condensada
efecto-hall-cuántico
aisladores-topologicos

miel mostaza

Estoy tratando de derivar el resultado de la fórmula TKNN pero tengo dificultades para derivar la fórmula Kubo. La fórmula de Kubo utilizada en el artículo de TKNN es,

σ_{X y} = \frac{i {mi}^{2}}{ℏ} \sum_{{mi}^{a} < {mi}_{F} < {mi}^{b}} \frac{⟨ a | v_{X} | b ⟩ ⟨ b | v_{y} | a ⟩ - ⟨ a | v_{y} | b ⟩ ⟨ b | v_{X} | a ⟩}{({mi}^{a} - {mi}^{b})^{2}} .

$\sigma_{xy}= \frac{ie^2}{\hbar} \sum_{E^a < E_F < E^b} \frac{\langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle - \langle a|v_y|b \rangle \langle b|v_x|a \rangle}{(E^a - E^b)^2} .$

El siguiente es mi trabajo hasta ahora. En primer lugar, de la teoría de la respuesta lineal, para un observable general,

O = ⟨ \hat{O} (t) ⟩ - i \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} ⟨ [\hat{O} (t), H_{mi X t} (t^{'})] ⟩

$O=\langle\hat{O}(t)\rangle-i\int_{t_0}^{t}\mathrm{d} t' \langle[\hat{O}(t),H_{\mathrm{ext}}(t')]\rangle$ dónde

H_{e x t}

$H_{\mathrm{ext}}$ es el hamiltoniano perturbador. Desde

H_{e x t} = - \int J \cdot A (r, t) d^{3} r

$H_{\mathrm{ext}}=-\int J\cdot A(r,t)\mathrm{d}^3r$ , si consideramos la densidad de corriente tenemos

{\vec{j}}_{i} (r, t) = ⟨ j_{i} (t) ⟩ + i \int_{- \infty}^{t} d t^{'} \int d^{3} r^{'} ⟨ [j_{i} (r, t), j_{j} (r^{'}, t^{'})] ⟩ A_{j} (r^{'}, t^{'}) .

$\vec{J}_i(r,t)=\langle j_i(t)\rangle+i\int_{-\infty}^{t}\mathrm{d} t'\int\mathrm{d}^3{r'} \langle[j_i(r,t),j_j(r',t')]\rangle A_j(r',t').$ Ignorando el primer término, podemos reescribir esto como

{\vec{j}}_{i} (r, t) = - \int_{- \infty}^{\infty} d t \int d^{3} r R_{i j} (r - r^{'}, t - t^{'}) A_{j} (r^{'}, t^{'})

$\vec{J}_i(r,t)=-\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}t\int \mathrm{d}^3r R_{ij}(r-r',t-t')A_j(r',t')$ dónde

R_{i j} (r - r^{'}, t - t^{'}) = - i θ (t - t^{'}) ⟨ [j_{i} (r, t), j_{j} (r^{'}, t^{'})] ⟩ .

$R_{ij}(r-r',t-t')=-i\theta(t-t')\langle[j_i(r,t),j_j(r',t')]\rangle.$ Podemos suponer que

A (r, t) = A (r) e^{- i ω t}

$A(r,t)=A(r)e^{-i\omega t}$ para mostrar que

E (r, t) = i ω A (r, t)

$E(r,t)=i\omega A(r,t)$ . Luego, al transformar Fourier la expresión del valor esperado de la densidad de corriente, obtenemos

\vec{j} (k, ω) = - \frac{R_{i j} (k, ω)}{i ω} {mi}_{j} (k, ω)

$\vec{J}(k,\omega)=-\frac{R_{ij}(k,\omega)}{i\omega}E_j(k,\omega)$ lo que significa que la conductividad de CC es

σ_{i j} = \underset{ω \to 0}{límite} \frac{i R_{i j} (k, ω)}{ω}

$\sigma_{ij}=\lim_{\omega\rightarrow0}\frac{iR_{ij}(k,\omega)}{\omega}$ Se puede demostrar que la transformada de Fourier de la función de respuesta es,

R_{i j} (k, ω) = - i \int_{0}^{\infty} d t {mi}^{i ω t} ⟨ [j_{i} (k, t), j_{j} (- k, 0)] ⟩

$R_{ij}(k,\omega)=-i\int_0^\infty \mathrm{d} t e^{i\omega t}\langle[j_i(k,t),j_j(-k,0)]\rangle$ Si evaluamos los valores esperados utilizando el gran conjunto canónico (es decir,

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (e^{- β H} \hat{O}) / Z

$\langle \hat{O}\rangle = Tr(e^{-\beta H} \hat{O})/Z$ dónde

H

$H$ incluye la química. pot.) e integrar con el tiempo y realizar un primer pedido

ω

$\omega$ expansión con la que terminamos

R_{i j} (k, ω) = \sum_{norte, metro} ({mi}^{- {mi}_{metro} β} - {mi}^{- {mi}_{norte} β}) (\frac{⟨ norte | j_{i} (k, ω) | metro ⟩ ⟨ metro | j_{j} (- k, ω) | metro ⟩}{{mi}_{norte} - {mi}_{metro} + i ϵ} - ω \frac{⟨ norte | j_{i} (k, ω) | metro ⟩ ⟨ metro | j_{j} (- k, ω) | metro ⟩}{({mi}_{norte} - {mi}_{metro} + i ϵ)^{2}}) / Z

$R_{ij}(k,\omega)=\sum_{n,m}(e^{-E_m \beta}-e^{-E_n\beta})\left(\frac{\langle n|j_i(k,\omega)|m\rangle\langle m|j_j(-k,\omega)|m\rangle}{E_n-E_m+i\epsilon}-\omega\frac{\langle n|j_i(k,\omega)|m\rangle\langle m|j_j(-k,\omega)|m\rangle}{(E_n-E_m+i\epsilon)^2}\right)/Z$ Aquí es donde no sé cómo proceder. Todas las derivaciones para la fórmula de Kubo que he encontrado en este sitio y otros recursos en línea no consideran la dependencia de la posición del operador de densidad actual. Cualquier consejo que me oriente en la dirección correcta será apreciado.

Everett usted

Posible duplicado de la fórmula de Kubo para Quantum Hall Effect

Everett usted

Eche un vistazo a physics.stackexchange.com/q/1906 . La respuesta explica por qué el primer término desaparece y el segundo término da la fórmula de Kubo. La derivación allí es aplicable para operadores actuales dependientes de la posición, simplemente reemplace cada

v_{i}

$v_i$ operador allí por su

j_{i} (\pm k)

$j_i(\pm k)$ , el álgebra todavía pasa.

miel mostaza

@EverettYou ¿Cómo funciona exactamente esta sustitución?

j_{i} (\pm k) \to v_{i}

$j_i(\pm k)\to v_i$ --¿trabajar? ¿El documento de TKNN asume que el operador actual no depende de la posición?

Everett usted

porque la corriente

j

$j$ es proporcional a la velocidad

v

$v$ del electrón como

j = - e v

$j=-ev$ , por lo que son esencialmente el mismo operador. El documento de TKNN no asumió que el operador actual es independiente de la posición. El elemento matriz

⟨ a | v (q) | b ⟩

$\langle a|v(q)|b\rangle$ tiene mucho sentido si incluimos la dependencia del momento de

v

$v$ , es decir

v (q)

$v(q)$ solo dispersará un estado

| b ⟩

$|b\rangle$ de impulso

k

$k$ a otro estado

| a ⟩

$|a\rangle$ de impulso

k + q

$k+q$ . Todavía se puede sumar todos los pares de estados que satisfagan

E_{a} < E_{F} < E_{b}

$E_a<E_F<E_b$ y obtenga la conductancia Hall dependiente del impulso

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(q)$ .

miel mostaza

@EverettYou Debo estar malinterpretando algo. ¿No se supone que la conductancia de Hall es independiente del impulso?

Everett usted

El comentario es demasiado corto para la explicación. Por favor, mira mi respuesta a continuación.

Respuestas (1)

Derivación de la fórmula de Kubo para la conductancia Hall

Posible duplicado de la fórmula de Kubo para Quantum Hall Effect
Eche un vistazo a physics.stackexchange.com/q/1906 . La respuesta explica por qué el primer término desaparece y el segundo término da la fórmula de Kubo. La derivación allí es aplicable para operadores actuales dependientes de la posición, simplemente reemplace cada $v_i$ operador allí por su $j_i(\pm k)$ , el álgebra todavía pasa.
@EverettYou ¿Cómo funciona exactamente esta sustitución? $j_i(\pm k)\to v_i$ --¿trabajar? ¿El documento de TKNN asume que el operador actual no depende de la posición?
porque la corriente $j$ es proporcional a la velocidad $v$ del electrón como $j=-ev$ , por lo que son esencialmente el mismo operador. El documento de TKNN no asumió que el operador actual es independiente de la posición. El elemento matriz $\langle a|v(q)|b\rangle$ tiene mucho sentido si incluimos la dependencia del momento de $v$ , es decir $v(q)$ solo dispersará un estado $|b\rangle$ de impulso $k$ a otro estado $|a\rangle$ de impulso $k+q$ . Todavía se puede sumar todos los pares de estados que satisfagan $E_a<E_F<E_b$ y obtenga la conductancia Hall dependiente del impulso $\sigma_{xy}(q)$ .
@EverettYou Debo estar malinterpretando algo. ¿No se supone que la conductancia de Hall es independiente del impulso?
El comentario es demasiado corto para la explicación. Por favor, mira mi respuesta a continuación.

Everett usted · Answer 1

La fórmula de Kubo se aplica al caso dependiente de la posición y se puede utilizar para calcular una conductividad Hall dependiente del momento.

σ_{X y} (q) = \frac{i {mi}^{2}}{ℏ} \sum_{{mi}_{a} < {mi}_{F} < {mi}_{b}} \frac{⟨ a | v_{X} (q) | b ⟩ ⟨ b | v_{y} (- q) | a ⟩ - ⟨ a | v_{y} (- q) | b ⟩ ⟨ b | v_{X} (q) | a ⟩}{({mi}_{a} - {mi}_{b})^{2}} .

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})= \frac{\mathrm{i}e^2}{\hbar} \sum_{E_a < E_F < E_b} \frac{\langle a|v_x(\boldsymbol{q})|b \rangle \langle b|v_y(-\boldsymbol{q})|a \rangle - \langle a|v_y(-\boldsymbol{q})|b \rangle \langle b|v_x(\boldsymbol{q})|a \rangle}{(E_a - E_b)^2}.$ Esta fórmula se puede derivar de la última fórmula (la correlación corriente-corriente en la base de muchos cuerpos) en la pregunta

\begin{aligned} R_{X y} (q, ω) = \frac{1}{Z} \sum_{norte, metro} ({mi}^{- β {mi}_{metro}} - {mi}^{- β {mi}_{norte}}) ( & \frac{⟨ norte | v_{X} (q, ω) | metro ⟩ ⟨ metro | v_{y} (- q, ω) | metro ⟩}{{mi}_{norte} - {mi}_{metro} + i 0_{+}} \\ - ω \frac{⟨ norte | v_{X} (q, ω) | metro ⟩ ⟨ metro | v_{y} (- q, ω) | metro ⟩}{({mi}_{norte} - {mi}_{metro} + i 0_{+})^{2}}), \end{aligned}

$\begin{split} R_{xy}(\boldsymbol{q},\omega)=\frac{1}{Z}\sum_{n,m}(e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n})\bigg(&\frac{\langle n|v_x(\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle\langle m|v_y(-\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle}{E_n-E_m+\mathrm{i}0_+}\\ &-\omega\frac{\langle n|v_x(\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle\langle m|v_y(-\boldsymbol{q},\omega)|m\rangle}{(E_n-E_m+\mathrm{i}0_+)^2}\bigg), \end{split}$ al notar que el primer término desaparece (como se explica en la fórmula de Kubo para el efecto Hall cuántico ) y tomar el límite de

σ_{x y} (q) = lim_{ω \to 0} i R_{x y} (q, ω) / ω

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})=\lim_{\omega\to0}\mathrm{i}R_{xy}(\boldsymbol{q},\omega)/\omega$ para el segundo término. Luego cambie a la base de una sola partícula (se puede hacer para fermiones libres) y tome el límite de temperatura cero

β \to \infty

$\beta\to\infty$ al final.

A partir de la conductividad de Hall dependiente del momento, se puede restaurar la dependencia explícita de la posición mediante la transformada de Fourier

σ_{X y} (r - r^{'}) = \sum_{q} σ_{X y} (q) {mi}^{i q \cdot (r - r^{'})} .

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')=\sum_{\boldsymbol{q}}\sigma_{xy}(\boldsymbol{q}) e^{\mathrm{i}\boldsymbol{q}\cdot(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')}.$ La conductividad uniforme se define como

σ_{x y} = \int d^{2} r^{'} σ_{x y} (r - r^{'})

$\sigma_{xy}=\int d^2\boldsymbol{r}' \sigma_{xy}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')$ que selecciona el componente de momento cero

σ_{x y} (q = 0)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q}=0)$ . El artículo de TKNN se centra principalmente en la conductancia Hall uniforme y su significado topológico. Pero la generalización de la fórmula de Kubo al caso no uniforme (no homogéneo) es sencilla como se describe anteriormente. Sin embargo, para un impulso genérico

q \neq 0

$\boldsymbol{q}\neq0$ , la conductancia de Hall

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ ya no está cuantificado a un número entero y ya no está relacionado con el índice topológico (número de Chern) de la estructura de la banda electrónica, por esta razón,

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ está menos investigado. Pero experimentalmente

σ_{x y} (q)

$\sigma_{xy}(\boldsymbol{q})$ es definida una cantidad que también se puede medir.

En general, se puede definir el tensor de conductividad dependiente del momento y la frecuencia $\sigma_{ij}(q)$ (dónde $q=(\omega,\boldsymbol{q})$ es el vector momento-frecuencia) de la función de Green del electrón $G(k)$ ,

\begin{aligned} σ_{i j} (q) & = - i \sum_{k} Tr GRAMO (k) γ_{0} GRAMO (k) γ_{i} GRAMO (k + q) γ_{j}, \\ γ_{m} & = - \partial_{k_{m}} {GRAMO}^{- 1} (k) (m = 0, 1, 2) . \end{aligned}

$\begin{split} \sigma_{ij}(q)&=-\mathrm{i}\sum_k \text{Tr} G(k)\gamma_0 G(k)\gamma_i G(k+q)\gamma_j,\\ \gamma_\mu&=-\partial_{k_\mu}G^{-1}(k)\quad(\mu=0,1,2).\end{split}$ Esto se denomina conductividad dinámica no homogénea o conductividad óptica. El operador de vértice

γ_{μ}

$\gamma_\mu$ reemplazar el operador actual/velocidad en la teoría del campo cuántico (como una generalización de las matrices gamma de los fermiones de Dirac). Consulte Cálculo de la conductividad a partir de las funciones de Green para la derivación de esta forma general.

Gracias por la información sobre la conductividad no uniforme. ¿Puede recomendar algún recurso que discuta este tema y observe la distinción entre conductividad uniforme y no uniforme? Parece que muchas derivaciones pasan por alto esto a pesar de que se siente como un hecho no trivial.
Simplemente busque "conductividad dinámica", puede ver mucha discusión sobre todo tipo de conductividades fuera del caso estático/uniforme.
¿Le importaría explicar qué quiso decir precisamente con "cambiar a la base de una sola partícula"? Además, ¿cómo se convierte exactamente de corriente (que considero un operador en el espacio de Fock completo) a un operador de velocidad (que me parece ser un operador en el espacio de una sola partícula)?

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