He visto varias definiciones diferentes para lo que se llaman invariantes topológicos , por ejemplo, en el contexto de
Modos no emparejados de Majorana, por Kitaev: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0010440
Aislador topológico en 3D, por Fu, Kane y Mele: http://arxiv.org/abs/cond-mat/0607699
Me gustaría entender un poco más cómo se construyen. ¿Son restricciones de una teoría matemática genérica (quizás la famosa construcción de Chern), o se construyen de forma independiente para cada caso (por ejemplo, para cada propiedad física que tienen, como media carga para el modo Majorana y el modo quiral para 3D-TI ) ?
Una pregunta subsidiaria (que eventualmente podría ser pospuesta para otro post) sería: ¿aparecen estas invariantes topológicas en el cálculo de algunas cantidades físicas? Por ejemplo, el número de Chern apareció explícitamente en los sistemas cuánticos de Hall en el cálculo de la conductividad. ¿Qué pasa con los ejemplos anteriores?
Las construcciones explícitas serían muy apreciadas.
Un invariante topológico es un mapa continuo :
Desafortunadamente, la definición exacta de sigue siendo un tema de investigación actual. Para abreviar, sabemos algunas cosas sobre lo que debería caracterizar a sus elementos: deberían tener algún tipo de brecha (brecha espectral o brecha de movilidad) que lo convierta en un aislante en caso de que el sistema en consideración sea infinito en todas las direcciones del espacio. (Se permite que los sistemas de borde semi-infinitos sean conductores, pero deben descender de sistemas infinitos separados). Deben ser locales (tener elementos de matriz fuera de la diagonal que decaen exponencialmente en la distancia entre los dos puntos en el espacio del elemento de matriz). Deben ser autoadjuntos como todos los hamiltonianos. Posiblemente deberían obedecer a ciertas simetrías, es decir, conmutar o anticonmutar con algún operador de simetría (fijo) unitario o anti-unitario.
Hasta ahora, las únicas invariantes topológicas construidas fueron tales es igual a o . Pero esto no está escrito en piedra. El resultado de tener discreto es que los mapas continuos en él son localmente constantes, de ahí el nombre invariante .
¿Cómo es tal ¿construido?
1) Crea un mapa , y demuestre que es continua. Si no me equivoco, así es como surgió el invariante FKM.
2) Usar una teoría matemática de (homotopía) clasificación de espacios para generar sistemáticamente invariantes. Si asume además que su sistema es invariable en traducción (una decisión físicamente mala, porque el desorden es necesario para explicar las características clave del IQHE, por ejemplo), entonces podría ver como un espacio de paquetes vectoriales y luego usar la teoría de clasificación de paquetes vectoriales. Consulte el libro de Milnor llamado "Clases de características" para obtener una introducción. El primer número de Chern es un ejemplo de un invariante que se construyó de esta manera en el artículo seminal de TKKN. Si no asume la invariancia de traslación, ingresa al reino de la geometría no conmutativa y luego hay una teoría paralela de clases características desarrollada por Alain Connes. Aquí, el objeto matemático que reemplaza a los paquetes de vectores son proyecciones en álgebras en estrella C. Su teoría de la homotopía se llama "teoría K del álgebra en estrella C" y un buen libro para empezar es el de Rordam . Entonces, el paralelo del libro de Milnor en este escenario sería el libro de Higson llamado "Analytic K-Homology".. Ahora hay una fórmula para el primer número de Chern no conmutativo, que no requiere la descomposición de Bloch (solo un ejemplo que complementa el ejemplo del primer número de Chern). Este punto de vista fue defendido por Jean Bellissard. Ya sea en geometría conmutativa o no conmutativa, la construcción de tales invariantes es totalmente sistemática y no deja lugar a elección. Sin embargo, tenga en cuenta que esta clasificación no está completa, por lo que se pueden construir más invariantes más allá del marco de las clases de características (conmutativas o no conmutativas).
Según tengo entendido, fue solo en el IQHE donde primero se calculó la cantidad física y luego se "reconoció" como objeto topológico. Creo que todos los demás invariantes hasta ahora se han construido al revés. Eso no quiere decir que no tengan un significado físicamente medible. Otra pregunta interesante es si estas cantidades representan la respuesta del sistema a una fuerza impulsora (como en el caso de IQHE, donde la conductividad de Hall es una respuesta lineal a la conducción del sistema con un campo eléctrico, que se calcula mediante la fórmula de Kubo). La respuesta a esta pregunta parece ser "no", y el índice FKM es probablemente un contraejemplo.
Este artículo Una breve guía de términos topológicos en las teorías efectivas de la materia condensada de Akihiro Tanaka y Shintaro Takayoshi (febrero de 2015) que examina los términos topológicos en las teorías de campo efectivas de CMP puede ser con lo que desee comenzar. Sin embargo, es posible que la revisión no agote todo lo que ha aparecido en la literatura.
Una invariante topológica en los sistemas de materia condensada es un número que no cambia bajo una deformación suave del hamiltoniano. Me gusta pensar que esto es como estirar un material que cambiaría, por ejemplo, las constantes de salto. Ahora bien, la forma en que uno puede tomar ese número puede variar y no creo que haya una limitación en la definición ni que haya una conexión profunda.
Por ejemplo:
En un sistema abierto, se podría usar la fase de Berry para calcular tal invariante en una región del espacio de parámetros. (una Z invariante)
Otro caso sería cuando se responde si hay o no puntos degenerados en la zona de Brilloin. La respuesta es sí o no (invariante Z2).
ppr