Desplazamiento al rojo debido a un campo gravitacional estático y la conservación de la energía [duplicado]

En un espacio-tiempo estático, existe (por definición) un campo vectorial Killing similar al tiempo$\xi^\mu$, lo que implica que las geodésicas con cuatro velocidades$u^\nu$tener una cantidad conservada$\epsilon = -g_{\mu\nu}\xi^\mu u^\nu$. Por ejemplo, en el espacio-tiempo de Schwarzschild, esto es

$$\epsilon = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\lambda}\text{,}$$ dónde $\lambda$es un parámetro afín arbitrario para la geodésica. Esta es la generalización correcta de la conservación de la energía orbital en el contexto de la relatividad general.

Para una partícula masiva en el espacio de Schwarzschild, para la cual podemos tomar$\lambda$ser el momento adecuado$\tau$, esto conduce a un análogo directo de la energía orbital newtoniana corregida por un extra$r^{-3}$término, hasta el entendimiento de que el Schwarzschild$r$y$\tau$tienen un significado algo diferente al que tienen en la teoría newtoniana:

$$\text{const} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 + \frac{1}{2}\frac{l^2}{r^2} - \frac{GM}{r} - \frac{GMl^2}{c^2r^3}\text{,}$$ dónde $l = r^2(\sin^2\theta)(\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}\tau)$es el momento angular específico, otra cantidad conservada para el espacio-tiempo de Schwarzschild. Los dos primeros términos constituirían la energía cinética newtoniana por masa, descompuesta en sus componentes radial y angular.

Para una partícula sin masa, esto es un poco diferente:

$$\epsilon^2 = \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\lambda}\right)^2 + \frac{l^2}{r^2}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\text{.}$$

En GR no hay energía gravitacional, por lo que el fotón no intercambió "energía luminosa" con energía potencial.

Pero en el espacio-tiempo estático, siempre podemos definir una energía orbital total conservada para las geodésicas.

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Acabo de leer la derivación de sus fórmulas en el libro de Carrolls GR. Obtiene cantidades conservadas pero no realmente un término de energía exacto. Obtienes algo así como energía por unidad de masa. Convertir esto en energía parece crítico ya que la masa del fotón es cero (y miramos los fotones en este ejemplo). Matemáticamente tenemos una cantidad conservada pero no veo cómo determinamos que esta es realmente la energía y no otra cosa.

Una cantidad conservada generada por la invariancia de la traducción del tiempo es cómo funciona la conservación de la energía en la física moderna; esa es la moraleja del teorema de Noether y el significado geométrico de tener un campo vectorial Killing similar al tiempo.

Tener su energía específica (es decir, por masa) es exactamente cómo funciona el potencial gravitacional incluso en la teoría newtoniana, e incluso para un fotón puede interpretarse como relativo a la energía en el infinito, o adaptarse a una escala establecida en cualquier lugar a lo largo de la órbita, para ese asunto. Operacionalmente, es exactamente la energía específica medida por una familia de observadores estáticos (que se mueven con el campo vectorial Killing), ya que un producto interno con cuatro velocidades da el factor relativo de Lorentz, o equivalentemente, el componente de tiempo de uno en un marco inercial local que se comova con el otro.

Envío un fotón azul a mi amigo, que está x metros por encima de mí en una torre (ambos estamos en reposo el uno con respecto al otro). Mide el fotón y descubre que es rojo. Ambos llegamos a la conclusión de que se produjo un corrimiento al rojo gravitacional. Sin embargo, ¿a dónde fue la energía?

No fue a ninguna parte. El fotón ascendente no perdió energía. No existe ningún mecanismo mágico y misterioso por el cual un fotón E=hf se "canse" y pierda energía. Tu amigo midió que el fotón tenía una frecuencia más baja que la tuya porque sus relojes corren más rápido que el tuyo. Debido a la dilatación del tiempo gravitacional. Es importante tener en cuenta que la energía gravitacional no se trata de que un fotón pierda energía cuando asciende. Se trata de que el fotón se emita a una frecuencia más baja. Vea a Einstein diciendo eso aquí :

"Un átomo absorbe o emite luz a una frecuencia que depende del potencial del campo gravitatorio en el que se encuentra".

En GR no hay energía gravitacional, por lo que el fotón no intercambió "energía luminosa" con energía potencial.

Correcto. Un fotón es "toda la energía cinética". No hay conversión de energía cinética en energía potencial. Además, el fotón ascendente no se ralentiza. En cambio, se acelera . Vea a Einstein hablando sobre la velocidad de la luz que varía con la posición aquí :

"Como muestra una simple consideración geométrica, la curvatura de los rayos de luz ocurre solo en espacios donde la velocidad de la luz es espacialmente variable" .

Encontré varios hilos sobre esto, pero a menudo vieron este tema desde un punto de vista cosmológico donde la métrica depende del tiempo y, por lo tanto, Noether no funciona para defender una conservación de la energía. Los argumentos sin cosmología utilizaron la explicación a través de la energía potencial (que no es algo en GR, que yo sepa). Entonces, dado que la métrica aún es independiente del tiempo, la energía debe conservarse según Noether. ¿Qué está pasando?

La energía se conserva. Si envía un fotón de 511 keV a un agujero negro, la masa del agujero negro aumenta en 511 keV/c². El fotón descendente no ganó energía. El fotón ascendente no lo pierde. Cualquiera que te diga lo contrario se equivoca. La actualización de Alfred Centauri en el supuesto duplicado es correcta.

Esto también podría verse como una razón por la que no se pueden convertir los fotones en materia (y viceversa) sin perder energía.

Cuando conviertes fotones en materia y viceversa a través de la producción y aniquilación de pares, la energía se conserva. No conozco ninguna situación en la que la energía no se conserve. Si alguien más lo hace, me complacería saberlo.