Demostrar que funcional con derivadas parciales continuas es una forma cuadrática

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Demostrar que funcional con derivadas parciales continuas es una forma cuadrática

cálculo
Matemáticas
análisis real
álgebra lineal
cálculo multivariable

concharox

Del álgebra lineal de Serge Lang:

Dejar $f: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}$ ser una función que tiene derivadas parciales de orden $1$ y $2$ , y tales que las derivadas parciales son funciones continuas. Asumir que:
$F (t X) = t^{2} F (X)$ $f(tX)=t^2f(X)$ para todos $X \in \mathbb{R^n}$ . Entonces $f$ es una forma cuadrática, es decir existe una matriz simétrica $A = (a_{ij})$ tal que $f(X) = \sum_{i=0, j=0}^{n}{x_{ij}a_{ij}{x_{ij}}}$ .

La prueba, por supuesto, requiere cálculo de varias variables. Véase, por ejemplo, mi propio libro sobre el tema.

No tengo una experiencia rigurosa con el análisis real de múltiples variables, pero tengo bastante curiosidad por saber por qué este funcional tiene forma cuadrática.

(1) Lo primero que noté es que si $t \in \mathbb{R}$ , es obvio por definición axiomática que funcional $f(X)$ no es lineal (pero no estoy seguro de cuánto significado tiene esto).

(2) La segunda cosa (quizás un poco más relevante) que he notado es que si $f(X)$ tiene derivadas parciales de orden $1$ que son continuos para todos $X \in \mathbb{R^n}$ , luego de $f$ podemos derivar $1 \times n$ matriz jacobiana $J$ :

j (F) = [\begin{matrix} \frac{\partial F}{\partial X_{1}} & . . . & \frac{\partial F}{\partial X_{norte}} \end{matrix}]

$J(f)=\begin{bmatrix} \frac{\partial{f}}{\partial x_1} & ... & \frac{\partial{f}}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

Pero en este caso, la matriz jacobiana no es simétrica, por lo que no se puede asociar con la forma cuadrática.

(3) Si matriz jacobiana $J$ existe para $f$ , y $f$ tiene derivadas parciales continuas de orden $2$ , entonces también existe Hessian $H$ , porque: $H(f(X))=J(\nabla f(X))^T$ . Pero la matriz hessiana, a diferencia de la jacobiana, siempre es simétrica . Por lo tanto tenemos una simetría $H$ tal que:

H_{i, j} = \frac{\partial^{2} F}{\partial X_{i} \partial X_{j}}

$H_{i, j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$

que podría estar asociado con la forma cuadrática.

(4) Extra: no estoy seguro de qué tan relevante es esto, pero también he considerado el teorema de Clairaut que se puede aplicar en algún vecindario en este caso debido a que todas las derivadas parciales de segundo orden son continuas. (Pero esto es probablemente insignificante aquí).

¿Es mi "análisis" suficiente para demostrar que $f$ ¿Qué forma cuadrática tiene asociada una matriz simétrica? ¿Existe la posibilidad de que la matriz asociada con $f$ es en realidad Hessian? Si es así, ¿por qué precisamente?

cucú

Su análisis ciertamente no es suficiente, porque no ha aprovechado el hecho de que

f (t X) = t^{2} f (X)

$f(tX) = t^2 f(X)$ . Pero sí, tu intuición es correcta, la matriz asociada con

f

$f$ es de hecho la arpillera de

f

$f$ evaluada en el origen. Para probar esto, vea mi respuesta a esta pregunta: math.stackexchange.com/questions/3297349/…

cucú

Sin embargo, mi respuesta allí asume que

f

$f$ es

C^{3}

$C^3$ , No solo

C^{2}

$C^2$ , por lo que tendré que ver si el mismo argumento se mantiene con esta hipótesis más débil (en particular, debe verificar la cantidad real de regularidad requerida para aplicar el teorema de Taylor)

concharox

@ peek-a-boo Gracias por la referencia, nunca pensé que esto estaría relacionado con el teorema de Taylor. También me interesa si su solución es completamente compatible con esta pregunta, en particular, se supone que

f (O) = 0

$f(O)=0$ y

f

$f$ es una función de dos variables (aunque no estoy seguro si eso afecta algo).

cucú

eche un vistazo a la generalización que escribí al final de mi respuesta. Entonces, siempre y cuando asumas

f

$f$ es

C^{3}

$C^3$ , entonces todo lo demás que escribí allí se mantiene palabra por palabra para el caso que le interesa, es decir, cuando

f : R^{n} \to R

$f: \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}$ satisface

f (t X) = t^{2} f (X)

$f(tX) = t^2 f(X)$ . (Observe que al elegir

t = 0

$t=0$ , esto ya implica

f (0) = 0

$f(0) = 0$ ). (Por cierto, fui descuidado en mi primer comentario; la matriz de

f

$f$ debería ser el doble de la arpillera en el origen, porque ya hay un

1 / 2

$1/2$ procedente del teorema de Taylor)

concharox

@ peek-a-boo ¡Gracias por la generalización! Supongo que todo lo que tengo que hacer es configurar

k = 2

$k=2$ lo que satisfará la prueba (pero obviamente la información anterior también es muy importante, sobre cómo se deriva utilizando la expansión de Taylor).

cucú

sí, así es, y de hecho, acabo de darme cuenta de que no hay necesidad de asumir

f

$f$ es

C^{3}

$C^3$ ; en realidad podemos suponer mucho menos. Puedo escribir una respuesta si lo desea.

concharox

@peek-a-boo Claro, sería genial si hubiera una prueba tan compacta

Respuestas (1)

Demostrar que funcional con derivadas parciales continuas es una forma cuadrática

Su análisis ciertamente no es suficiente, porque no ha aprovechado el hecho de que $f(tX) = t^2 f(X)$ . Pero sí, tu intuición es correcta, la matriz asociada con $f$ es de hecho la arpillera de $f$ evaluada en el origen. Para probar esto, vea mi respuesta a esta pregunta: math.stackexchange.com/questions/3297349/…
Sin embargo, mi respuesta allí asume que $f$ es $C^3$ , No solo $C^2$ , por lo que tendré que ver si el mismo argumento se mantiene con esta hipótesis más débil (en particular, debe verificar la cantidad real de regularidad requerida para aplicar el teorema de Taylor)
@ peek-a-boo Gracias por la referencia, nunca pensé que esto estaría relacionado con el teorema de Taylor. También me interesa si su solución es completamente compatible con esta pregunta, en particular, se supone que $f(O)=0$ y $f$ es una función de dos variables (aunque no estoy seguro si eso afecta algo).
eche un vistazo a la generalización que escribí al final de mi respuesta. Entonces, siempre y cuando asumas $f$ es $C^3$ , entonces todo lo demás que escribí allí se mantiene palabra por palabra para el caso que le interesa, es decir, cuando $f: \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}$ satisface $f(tX) = t^2 f(X)$ . (Observe que al elegir $t=0$ , esto ya implica $f(0) = 0$ ). (Por cierto, fui descuidado en mi primer comentario; la matriz de $f$ debería ser el doble de la arpillera en el origen, porque ya hay un $1/2$ procedente del teorema de Taylor)
@ peek-a-boo ¡Gracias por la generalización! Supongo que todo lo que tengo que hacer es configurar $k=2$ lo que satisfará la prueba (pero obviamente la información anterior también es muy importante, sobre cómo se deriva utilizando la expansión de Taylor).
sí, así es, y de hecho, acabo de darme cuenta de que no hay necesidad de asumir $f$ es $C^3$ ; en realidad podemos suponer mucho menos. Puedo escribir una respuesta si lo desea.
@peek-a-boo Claro, sería genial si hubiera una prueba tan compacta

cucú · Answer 1

En los comentarios me preocupaba la cantidad de supuestos de regularidad en $f$ necesario para que la declaración sea verdadera, pero ahora me di cuenta de que en realidad no necesitamos mucho. En el espíritu de la generalización que ofrecí en mi otra respuesta, ahora podemos afirmar lo siguiente:

Dejar $x \in \Bbb{R}^n$ ser dado y dejar $f: \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}$ sea una función dada tal que para todo $t \in \Bbb{R}$ , $f(tx) = t^kf(x)$ . Si suponemos además que $f$ es $k$ -veces Frechet-diferenciable en el origen, $0$ entonces
$\begin{aligned} F (X) = \frac{1}{k!} d^{k} F_{0} (X^{k}) \end{aligned}$ $\begin{align} f(x) = \dfrac{1}{k!}d^kf_0(x^k) \end{align}$ donde uso $x^k$ como notación abreviada para el elemento $(x, \dots x) \in \underbrace{\Bbb{R}^n \times \cdots \times \Bbb{R}^n}_{k \text{ times}}$

Ahora, el caso que te interesa es $k=2$ , y en este caso, $f$ ser dos veces Frechet diferenciable en el origen es lo mismo que decir el hessiano de $f$ (la derivada del gradiente) existe en el origen.

La prueba es muy similar a lo que mostré en la otra respuesta. Definir $g: \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ por $g(t) = f(tx) = t^kf(x)$ . Darse cuenta de $g$ es un grado $k$ polinomio en términos de la variable $t$ ; por lo tanto es igual a su propio $k$ Polinomio de Taylor de -ésimo orden:

\begin{aligned} gramo (t) = gramo (0) + {gramo}^{'} (0) t + \frac{{gramo}^{″} (0)}{2!} \cdot t^{2} + \dots + \frac{{gramo}^{(k)} (0)}{k!} t^{k} \end{aligned}

$\begin{align} g(t) = g(0) + g'(0) t + \dfrac{g''(0)}{2!} \cdot t^2 + \dots + \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!} t^k \end{align}$ Pero fíjate que

g (0) = g^{'} (0) = g^{″} (0) = \dots g^{(k - 1)} (0) = 0

$g(0) = g'(0) = g''(0) = \dots g^{(k-1)}(0) = 0$ (porque el primero

k - 1

$k-1$ derivados de

t^{k}

$t^k$ en el origen todo se desvanece). Por lo tanto, tenemos que

\begin{aligned} gramo (t) = \frac{{gramo}^{(k)} (0)}{k!} t^{k} . \end{aligned}

$\begin{align} g(t) = \dfrac{g^{(k)}(0)}{k!} t^k. \end{align}$ Ahora, eligiendo

t = 1

$t=1$ implica que

\begin{aligned} F (X) = gramo (1) = \frac{1}{k!} {gramo}^{(k)} (0) \end{aligned}

$\begin{align} f(x) = g(1) = \dfrac{1}{k!}g^{(k)}(0) \end{align}$ Ahora, recuerda que por definición,

g (t) = f (t x)

$g(t) = f(tx)$ ; entonces si ahora usamos la regla de la cadena multivariable

k

$k$ veces en

g

$g$ , entonces encontramos que

g^{(k)} (0) = d^{k} f_{0} (x^{k})

$g^{(k)}(0) = d^kf_0(x^k)$ . Por eso,

\begin{aligned} F (X) = \frac{1}{k!} d^{k} F_{0} (X^{k}) . \end{aligned}

$\begin{align} f(x) = \dfrac{1}{k!}d^kf_0(x^k). \end{align}$

En el caso particular $k=2$ , esto por supuesto dice que $f(x) = \dfrac{1}{2} d^2f_0(x,x)$ ; o si lo escribes en términos de la matriz hessiana de $f$ , y multiplicación de matrices, entonces

\begin{aligned} F (X) = \frac{1}{2} X^{T} \cdot H_{F} (0) \cdot X \end{aligned}

$\begin{align} f(x) = \dfrac{1}{2} x^T \cdot H_f(0) \cdot x \end{align}$ (

x^{T}

$x^T$ significa trasponer, y

H_{f} (0)

$H_f(0)$ es la matriz hessiana de

f

$f$ evaluada en el origen)

Una palabra sobre las hipótesis:

Por cierto, la declaración resaltada que hice supone menos que la declaración dada en el libro de Lang. En otras palabras, si $f$ tiene derivadas parciales continuas hasta el orden $2$ (que es lo que asumiste), entonces la segunda derivada de Frechet de $f$ Al origen, $d^2f_0$ , existe y, por lo tanto, se puede aplicar el teorema que establecí.

¡Gracias por la gran respuesta! Por cierto, solo supuso que las derivadas parciales deben existir y deben ser continuas solo en el origen (o de manera equivalente en casos de dimensión finita $f$ debe ser diferenciable de Frechet en $0$ ), ¿correcto? Mientras que Lang ha asumido que las derivadas parciales de $f$ debe ser continuo para todos $X$ .
@ShellRox Solo asumí que $f$ debiera ser $k$ veces Frechet Diferenciable en el origen (que en realidad es una suposición más débil que la continuidad de $k$ Derivadas parciales de -ésimo orden en el origen). La prueba que proporcioné generaliza palabra por palabra si reemplazamos el dominio $\Bbb{R}^n$ a un espacio de Banach real arbitrario (incluso de dimensión infinita) $V$ ; lo único es en dimensiones infinitas, no se puede hablar de matrices hessianas... pero, las derivadas de Frechet aún tienen perfecto sentido. Supongo que Lang hizo esa suposición solo para simplificar la declaración del teorema.
... después de todo, es un libro de álgebra lineal, no un libro de cálculo multivariable
Mi confusión vino de esta sección , donde mencionan que "Si todas las derivadas parciales de $f$ existen y son continuos, entonces $f$ es Fréchet diferenciable". Supongo que Lang no especificó las propiedades y estructuras del espacio topológico $\mathbb{R^n}$ teniendo en cuenta que este libro no es para un análisis real. Pero ahora lo entiendo, gracias!

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Calcular el valor máximo

Demostrar que f:R2→Rf:R2→Rf:\mathbb{R^2}\rightarrow \mathbb{R} no es inyectiva por el teorema de la función inversa

Existencia de mapas de matrices diferenciables M(3,R)→M(3,R)M(3,R)→M(3,R)M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{ R})

Límite de la función multivariante en el origen

Demostrar que una función no es inyectiva considerando inversa

¿Por qué debería existir este límite multivariable?

Derivada de la forma cuadrática como aproximación lineal

Esta composición de funciones viola la definición, ¿por qué?

La regla de la cadena para la diferenciación produce dimensiones en conflicto

¿Cuál es exactamente la relación y cuáles son las diferencias entre los límites multivariables y los límites complejos?