Describir un bucle de corriente circular como funciones delta

Question

Describir un bucle de corriente circular como funciones delta

ben

Sería muy bueno ver cómo Jackson obtuvo la ecuación 5.33 en su problema de ejemplo para encontrar el vector potencial de un bucle de corriente circular.

j_{ϕ} = I pecado θ^{'} d (porque θ^{'}) \frac{d (r^{'} - a)}{a}

$J_{\phi}=I\sin\theta'\delta(\cos\theta')\frac{\delta(r'-a)}{a}$

para describir esta geometría:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Encontré algunas 'explicaciones' en Google, pero todavía estoy confundido sobre el origen del $\sin\theta$

mi mejor conjetura

\int \vec{j} \cdot \hat{norte} d^{3} X = \int \vec{I} \cdot d \vec{yo} \nabla_{ϕ} (\int \vec{j} \cdot \hat{norte} d^{3} X = \int \vec{I} \cdot d \vec{yo}) \frac{1}{pecado θ} \frac{\partial}{\partial ϕ} \int \vec{j} \cdot \hat{norte} r^{2} d r d porque θ d ϕ = \frac{1}{pecado θ} \frac{\partial}{\partial ϕ} \int I a d ϕ \frac{1}{pecado θ} \int j_{ϕ} r^{2} d r d porque θ = \frac{1}{pecado θ} I a \frac{1}{pecado θ} \int A d (porque θ) d (r - a) r^{2} d r d porque θ = \frac{1}{pecado θ} I a A a^{2} = I a A = \frac{I}{a} ∴ j_{ϕ} = I d (porque θ) \frac{d (r - a)}{a}

$\int \vec{J}\cdot\hat{n} \; d^3x=\int \vec{I}\cdot d\vec{l} \\ \nabla_\phi \left ( \int \vec{J}\cdot\hat{n} \; d^3x=\int \vec{I}\cdot d\vec{l} \right) \\ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\phi} \int \vec{J}\cdot\hat{n} \; r^2 dr d\cos\theta d\phi = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\phi} \int I a d\phi \\ \frac{1}{\sin\theta} \int J_\phi r^2 dr d\cos\theta = \frac{1}{\sin\theta} I a \\ \frac{1}{\sin\theta} \int A \delta(\cos\theta) \delta(r-a) r^2 dr d\cos\theta =\frac{1}{\sin\theta} I a \\ Aa^2=Ia \\ A=\frac{I}{a}\\ \therefore J_\phi = I \delta(\cos\theta) \frac{\delta(r-a)}{a}$

Sé que el $\sin\theta$ realmente no importa .. porque

\int {pecado}^{2} θ d (θ - π / 2) d θ = 1

$\int \sin^2\theta \delta(\theta-\pi/2)d\theta=1$

pero todavía me gustaría saber de dónde viene.

EDITAR
La explicación de que "no importa, así que incluyémoslo" me molesta. Debe haber algún lugar en la derivación en que él lo recoge. ¿Qué posible razón habría para agregarlo al final?

El cambio de variables [ref] no funciona porque

d (porque θ) = \frac{d (θ - π / 2)}{pecado \frac{π}{2}}

$\delta(\cos\theta)=\frac{\delta(\theta-\pi/2)}{\sin\frac{\pi}{2}}$ así que todavía terminas con

\int {pecado}^{2} θ d (θ - π / 2) d θ

$\int \sin^2\theta \delta(\theta-\pi/2)d\theta$

Tampoco creo que salga del jacobiano. Porque luego pasa a integrar sobre el ángulo sólido

\int j r^{2} d Ω d r = \int j r^{2} pecado θ d θ d ϕ

$\int J r^2 d\Omega dr = \int J r^2 \sin\theta d\theta d\phi$ lo que, de nuevo, daría algo de la forma

\sin^{2} θ

$\sin^2\theta$

EDITAR
el siguiente paso de Jackson (ecuación 5.35)

A_{ϕ} (r, θ) = \frac{m_{0} I}{4 π a} \int r^{' 2} d r^{'} d Ω^{'} \frac{pecado θ^{'} porque ϕ^{'} d (porque θ^{'}) d (r^{'} - a)}{| X - X^{'} |} con d Ω^{'} = d porque θ^{'} d ϕ = pecado θ^{'} d θ^{'} d ϕ

$A_\phi(r,\theta)=\frac{\mu_0I}{4\pi a}\int r'^2dr'd\Omega' \frac{\sin\theta'\cos\phi'\delta(\cos \theta')\delta(r'-a)}{\left | \mathbf{x}-\mathbf{x'} \right |} \\ \; \\ \text{with } d\Omega' = d\cos\theta' d\phi = \sin\theta' d\theta' d\phi$

estaría de acuerdo en que un $\sin \theta$ pertenece a la fórmula si solo integró sobre $d\theta$ no $\sin\theta d\theta$

Respuestas (5)

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usuario22180 · Answer 1

Mira, debes encontrar la densidad de corriente del volumen $J_\phi$ . Aunque su nombre es densidad de corriente de volumen , sabes que es la corriente que fluye por unidad de superficie . Ahora el subíndice $\phi$ en $J_\phi$ denota que está fluyendo en el $\hat{\phi}$ dirección. Ahora en la coordenada polar esférica los elementos de longitud infinitesimal a lo largo de la dirección $\hat{r},\hat{\theta} \rm\ and\ \hat{\phi}$ son dr, $rd\theta$ y $r\sin\theta d\phi$ respectivamente. Entonces $dr\times rd\theta$ es el área que le interesa .

Ahora mirando tu figura me interesa reescribir el yo actual.

I = I \int d (r - a) d r = I \int d (r - a) d r d (porque θ - C o s (π / 2)) d (C o s θ)

$I=I\int \delta(r-a) dr= I\int \delta(r-a) dr\ \delta\big(\cos\theta-cos(\pi/2)\big) d(cos\theta)$

= I \int d (r - a) d r d (porque θ - 0) d (C o s θ)

$=I\int \delta(r-a) dr\ \delta\big(\cos\theta-0\big) d(cos\theta)$

= I \int d (r - a) d r d (porque θ) d (C o s θ)

$=I\int \delta(r-a) dr\ \delta\big(\cos\theta\big) d(cos\theta)$

= I \int d (r - a) d r d (porque θ) pecado θ d θ

$=I\int \delta(r-a) dr\ \delta\big(\cos\theta\big) \sin\theta d\theta$

= I \int d (r - a) d (porque θ) pecado θ d r d θ

$=I\int \delta(r-a)\delta\big(\cos\theta\big) \sin\theta dr\ d\theta$

= I \int \frac{d (r - a) d (porque θ) pecado θ}{r} d r r d θ

$=I\int \frac{ \delta(r-a)\delta(\cos\theta) \sin\theta}{r} {dr\ r d\theta}$

Entonces ves tu

j_{ϕ} = I \frac{d (r - a) d (porque θ) pecado θ}{r}

$J_\phi = I\frac{ \delta(r-a)\delta(\cos\theta) \sin\theta}{r}$

Gracias por la respuesta. Sí un $\sin\theta$ espectáculos de jacobiano $\sin\theta d\theta$ Pero Jackson se integra sobre el ángulo sólido completo. $d\Omega =\sin\theta d\theta d\phi$ ... lo que daría un $\sin^2\theta$ Editaré la pregunta para mostrar su próximo paso.
estaría de acuerdo en que un $\sin \theta$ pertenece a la fórmula si solo integró sobre $d\theta$ no $\sin\theta d\theta$
Creo que no pudiste seguir mi respuesta correctamente. Tómese el tiempo para leerlo correctamente. Si no responde completamente a su pregunta, señale exactamente dónde tiene el problema en mi respuesta.
Sí, tienes razón, no te estaba siguiendo. yo estaba pensando en el $\sin \theta$ se incluyó cuando el ángulo azimutal se mantuvo constante (es decir, pensé $dS_\phi=r\sin\theta dr d\theta$ ). Veo lo que estabas diciendo ahora. gracias
Así que cuando hice mi integral de línea $\int I \cdot dl$ Debería haberlo evaluado como $\int I a\sin\theta d\phi$ ¿bien?
sí. ver la corriente que está en la dirección $\hat{\phi}$ , y $r\sin\theta d\phi$ es el componente de $d\vec{l}$ a lo largo de la dirección $\hat{\phi}$ . Ahora ya has entendido que cuando el anillo está en el plano xy eso $\sin\theta$ puede omitirse. Pero si el anillo está en un plano paralelo al plano xy, entonces necesita esta fórmula. Entonces $\delta(\cos\theta)$ es reemplazado por $\delta(\cos\theta-\cos{\theta_0})$ .

yankeefan11 · Answer 2

si notas que

d (porque θ) = \frac{d (θ - π / 2)}{pecado θ}

$\delta(\cos\theta)=\frac{\delta(\theta-\pi/2)}{\sin\theta}$ Entonces puedes ver que los términos del seno en realidad se cancelan.

Solo quiero señalar que, como menciono en mi publicación, el término seno es completamente superfluo. Sin embargo, si no fuera así, no habría justificación matemática para incluirlo. Su fórmula debe ser sin (raíz), que es 1, no sin (theta).
No creo que esto sea correcto porque el $\sin\theta$ debiera ser $\sin\pi/2$ . ver editar

Última · Answer 3

RESPUESTA EDITADA : La distribución delta $\delta(x)$ no es único Es invariante bajo transformaciones de la forma $\delta(x) \to f(x)\delta(x)$ dónde $f(0) = 1$ . Esto se debe a que en realidad es una distribución y no una función. Es matemáticamente impropio hablar de $\delta(x)$ en lugar de $\int \delta(x)dx$ . Las derivaciones del término que le interesa tampoco serán únicas. Puedes demostrar eso

I = I \int d (r - a) d r = I \int d (r - a) d (θ - π / 2) d r d θ = I \int \frac{d (r - a)}{r} d (θ - π / 2) r d r d θ .

$I = I\int \delta(r-a)dr = I\int \delta(r-a)\delta(\theta - \pi/2)drd\theta = I\int\frac{\delta(r-a)}{r}\delta(\theta - \pi/2)rdrd\theta.$

A partir de esta expresión, es evidente que podemos escribir la corriente como

I = \int j_{ϕ} r d r d θ ⟹ j_{ϕ} = I \frac{d (r - a)}{r} d (θ - π / 2) .

$I = \int J_{\phi}rdrd\theta \implies J_\phi = I \frac{\delta(r-a)}{r}\delta(\theta - \pi/2).$

Este resultado deja fuera el $sin(\theta)$ y reemplaza $a$ con $r$ . Realmente no hace ninguna diferencia porque las distribuciones se representan matemáticamente por $(T, F)$ dónde $F$ es un conjunto de funciones continuas y $T$ es el mapa de $F \to \mathbb{R}$ . Si bien es común que los físicos representen las distribuciones solo como el mapeo (es decir, $T = (T,F)$ ), esto es algo falso y conduce a la representación no única de cantidades como $\delta(x)$ .

Totalmente de acuerdo en que es innecesario. Entonces, ¿por qué lo pondría? Solo para amargarnos la vida??? ....qué estoy diciendo, esa es probablemente la razón.
+1 Entiendo lo que estabas diciendo ahora. Solo soy grueso y necesitaba a alguien para descomponerlo, supongo
Intenté investigar un poco más sobre tu pregunta. Parece que todos tienen un problema similar y la mayoría de los otros libros de texto/conferencias omiten el término sinusoidal. A menos que te encuentres con algo especialmente esclarecedor, simplemente aceptaría que no sirve para nada. Además, tampoco tiene una interpretación física. La forma natural de pensar en la densidad de corriente en esta situación es "circulando" por el cable en el plano xy. ¿Por qué el ángulo desde el plano influiría en esta expresión si es 0 en todas partes excepto a lo largo del círculo?

usuario145629 · Answer 4

la respuesta correcta se puede obtener fácilmente cuando se utiliza la definición de

\vec{j} = ρ \vec{v}

$\begin{equation} \overrightarrow{J}=\rho \overrightarrow{v} \end{equation}$

con $\rho=q\delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x'})$ , usted tendrá:

\vec{j} = q \vec{v} d (\vec{X} - \vec{X^{'}})

$\begin{equation} \overrightarrow{J}=q \overrightarrow{v} \delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x'}) \end{equation}$

una pequeña carga en movimiento $dq$ cede a una pequeña densidad de corriente $d\overrightarrow{J}$ , entonces

d \vec{j} = d q \vec{v} d (\vec{X} - \vec{X^{'}})

$\begin{equation} d\overrightarrow{J}=dq \overrightarrow{v} \delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x'}) \end{equation}$

la carga se moverá a lo largo de la distancia $d\overrightarrow{l}$ :

d \vec{j} = d q \frac{d \vec{yo}}{d t} d (\vec{X} - \vec{X^{'}})

$\begin{equation} d\overrightarrow{J}=dq {{d\overrightarrow{l}}\over dt} \delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x'}) \end{equation}$

pero uno define $I={dq\over dt}$

d \vec{j} = I d \vec{yo} d (\vec{X} - \vec{X^{'}})

$\begin{equation} d\overrightarrow{J}= I {d\overrightarrow{l}}\delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x'}) \end{equation}$

\vec{j} = \int I d \vec{yo} d (\vec{X} - \vec{X^{'}})

$\begin{equation} \overrightarrow{J}= \int I \hspace{0.2cm}{d\overrightarrow{l}}\hspace{0.2cm}\delta(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x'}) \end{equation}$

ahora debes escribir ${d\overrightarrow{l}}$ según el problema así como la función delta de Dirac. Por ejemplo, si tienes un bucle de corriente circular con radio a en un plano xy y con su centro y el origen, puedes escribir ${d\overrightarrow{l}}=a\hspace{0.1cm}d\phi \hat{\phi}$ y usando coordenadas cilíndricas para el delta de Dirac:

\vec{j} = \int I a d ϕ \hat{ϕ} \frac{d (r - a)}{r} d (ϕ) d (z)

$\begin{equation} \overrightarrow{J}= \int I \hspace{0.2cm} a\hspace{0.1cm}d\phi \hat{\phi}\hspace{0.2cm}{\delta(r-a)\over r} \delta(\phi) \delta(z) \end{equation}$

\vec{j} = I \hat{ϕ} d (r - a) d (z)

$\begin{equation} \overrightarrow{J}= I \hspace{0.2cm} \hspace{0.1cm} \hat{\phi}\hspace{0.2cm}\delta(r-a) \delta(z) \end{equation}$

¡Espero que eso pueda ayudarte!

Shohamsen · Answer 5

La siguiente es una forma sistemática de obtener la descripción deseada para la corriente en el cable.

Para representar la corriente, debemos hacer uso de la simetría azimutal para reducir el problema a uno que involucre dos coordenadas $(u,z)$ , compruebe la figura a continuación.

Dónde $u$ representa un punto en el plano xy. Esto está relacionado con las coordenadas esféricas por

tu = r pecado θ

$u=r\sin\theta$

z = r porque θ

$z=r\cos\theta$ Observe que al girar

u

$u$ sobre el eje z nos daría el problema original. La corriente wrt u y z viene dada por

\vec{j} = i d (tu - R) d (z) \hat{ϕ},

$\vec{J}=i\delta(u-R)\delta(z)\hat{\phi},$ dónde

i

$i$ es la corriente que fluye en el alambre de radio

R

$R$ y

\hat{ϕ}

$\hat{\phi}$ es el vector unitario correspondiente tangencial al anillo. Ahora usando la ley de transformación para funciones delta, obtenemos

\vec{j} = i \frac{d (r - R) d (θ - \frac{π}{2})}{| j |} \hat{ϕ},

$\vec{J}=i\dfrac{\delta(r-R)\delta(\theta-\frac{\pi}{2})}{|J|}\hat{\phi},$ dónde

| J |

$|J|$ es el jacobiano de la transformación. Esto está dado por

| j | = | d mi t (\begin{matrix} \frac{\partial tu}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r} \\ \frac{\partial tu}{\partial θ} & \frac{\partial z}{\partial θ} \end{matrix}) | = | d mi t (\begin{matrix} pecado θ & porque θ \\ r porque θ & - r pecado θ \end{matrix}) | = r .

$|J|=\vert det\begin{pmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial r}\\ \dfrac{\partial u}{\partial \theta} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta}\end{pmatrix}\vert=\vert det\begin{pmatrix}\sin\theta & \cos\theta\\ r\cos\theta & -r\sin\theta\end{pmatrix}\vert=r.$

Enchufando, obtenemos

\vec{j} = i \frac{d (r - R) d (θ - \frac{π}{2})}{r} \hat{ϕ},

$\vec{J}=i\dfrac{\delta(r-R)\delta(\theta-\frac{\pi}{2})}{r}\hat{\phi},$ cual es el resultado deseado.

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