Derivadas de la función delta de Dirac y ecuación de continuidad para una sola carga

Casi no es problema generalizar a un número finito de cargas puntuales$q_i$en posiciones${\bf r}_i(t)$. Entonces la densidad de carga es

$$\rho({\bf r},t)~ =~ \sum_i q_i \delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t)),$$

y la densidad de corriente

$${\bf j}({\bf r},t)~ =~ \sum_i q_i \dot{\bf r}_i(t)\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t)).$$

Para mayor claridad escribamos${\bf \nabla}\equiv\frac{\partial}{\partial {\bf r}}.$La regla de la cadena produce entonces la ecuación de continuidad

$$-\frac{\partial \rho({\bf r},t)}{\partial t} ~=~ -\sum_i q_i \frac{\partial }{\partial t}\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t)) ~=~ \sum_i q_i \dot{\bf r}_i(t)\cdot \frac{\partial }{\partial {\bf r}}\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t))$$ $$~=~ \frac{\partial }{\partial {\bf r}} \cdot \sum_i q_i \dot{\bf r}_i(t)\delta^3({\bf r}-{\bf r}_i(t))~=~\frac{\partial }{\partial {\bf r}} \cdot {\bf j}({\bf r},t).$$

El mismo cálculo se puede repetir con más cuidado con la ayuda de funciones de prueba .

Ya no se trata de funciones de valor real en$\mathbb R^4$, pero con distribuciones, y necesita evaluar expresiones integrando sobre una función de prueba$\varphi$:

$$\begin{align*} &\int_{\mathbb R^4}\left(\frac{\partial\rho}{\partial t}(\mathbf r,t) + \nabla\cdot\mathbf j(\mathbf r,t)\right)\varphi(\mathbf r,t)\;\mathrm d(\mathbf r,t) \\= &\int_{\mathbb R^4}\left(e\frac\partial{\partial t}\delta(\mathbf r - \mathbf R(t))\varphi(\mathrm r,t) + \sum_{i=1}^3e\dot R_i(t)\frac\partial{\partial x^i}\delta(\mathbf r - \mathbf R(t))\varphi(\mathrm r,t)\right)\;\mathrm d(\mathbf r,t) \\=&\int_{\mathbb R^4}\left(-e\delta(\mathbf r - \mathbf R(t))\frac{\partial\varphi}{\partial t}(\mathbf r,t)-\sum_{i=1}^3e\dot R_i(t)\delta(\mathbf r - \mathbf R(t))\frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(\mathbf r,t)\right)\;\mathrm d(\mathbf r,t) \\=&\int_\mathbb R\left(-e\frac{\partial\varphi}{\partial t}(\mathbf R(t),t)-\sum_{i=1}^3e\dot R_i(t)\frac{\partial\varphi}{\partial x^i}(\mathbf R(t),t)\right)\;\mathrm dt \\=&\int_\mathbb R -e\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\varphi(\mathbf R(t),t)\;\mathrm dt \\=&\left[-e\varphi(\mathbf R(t),t)\right]^\infty_{t=-\infty} \\=&0 \end{align*}$$

La segunda igualdad se parece a la integración por partes como$\varphi$tiene soporte compacto (es decir, en particular, se anula en el infinito), pero en realidad es la definición de la derivada de una distribución.