Derivación de la ley de Biot Savart para una curva

Question

Derivación de la ley de Biot Savart para una curva

Juan Donne

Estoy bien con la siguiente expresión para Biot-Savart :

B (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times (r - r^{'})}{| r - r^{'} |^{3}} d V^{'} .

${\mathbf B}({\mathbf r}) = \frac{{\mu _0}}{{4\pi }}\int\frac{{{\mathbf J}({\mathbf r'}) \times {(\mathbf{r-r'})}}}{{|\mathbf{r-r'}|^3 }}dV'.$ Muchas fuentes dan una fórmula ligeramente diferente para una curva C:

B (r) = \frac{m_{0} I}{4 π} \int_{C} \frac{d r^{'} \times (r - r^{'})}{| r - r^{'} |^{3}} .

${\mathbf B}({\mathbf r}) = \frac{{\mu _0 I}}{{4\pi }}\int_C\frac{{d{\mathbf r'} \times {\mathbf{(r-r')}}}}{{|\mathbf{r-r'}|^3 }}.$ Que la fórmula general implique la de una curva parece razonable, e incluso intuitivo. Pero, ¿cómo haría uno para mostrarlo correctamente?

Mi idea era escribir la densidad de corriente como un producto de funciones delta cuyos argumentos tienen incontables raíces (las de la curva C), así la integral triple sería aniquilada por las funciones delta, mientras que surgiría una nueva integral debido a la delta funciones Sin embargo, esto es bastante complicado, y no parece funcionar. ¿Alguien tiene alguna idea?

Respuestas (1)

Derivación de la ley de Biot Savart para una curva

Motl de Luboš · Answer 1

Sí, la estrategia es correcta. Si uno tiene una corriente unidimensional $I$ en el alambre delgado, la densidad de volumen de la corriente es

\vec{j} (\vec{r}) = I \cdot d^{(2)} (\vec{r} - {\vec{R}}_{norte mi a r mi s t}) \cdot \vec{norte}

$\vec J(\vec r) = I\cdot \delta^{(2)}(\vec r - \vec R_{\rm nearest}) \cdot \vec n$ dónde

{\vec{R}}_{n e a r e s t}

$\vec R_{\rm nearest}$ es el punto del cable que está más cerca del punto

\vec{r}

$\vec r$ . Hay otras formas de escribir la corriente, pero esta es probablemente la más simple. También,

\vec{n}

$\vec n$ es la dirección normal a lo largo del alambre en el punto

{\vec{R}}_{n e a r e s t}

$\vec R_{\rm nearest}$ .

Ahora, sustituya esto $\vec J$ a la primera fórmula que implica una integral de volumen. En algunas coordenadas locales, las dos integrales transversales se cancelan frente a la función delta bidimensional, $I$ sobrevive como un factor, y lo que queda de $\vec J \cdot dV$ excepto por las partes que ya hemos contabilizado es simplemente $\vec n\cdot d z$ dónde $z$ es una coordenada local a lo largo del cable, y eso es lo que se llama $d\vec r'$ en la segunda forma de la integral. Debido a la función delta, la integral tridimensional se reduce a la integral unidimensional a lo largo del cable porque aquí es donde desaparece la función delta bidimensional.

He sido un poco descuidado con otro detalle que haría que la notación fuera menos comprensible si la usara de inmediato. La función delta bidimensional debe tener un argumento que sea de dos vectores. Así que el argumento no debería ser solo $\vec r-\vec R_{\rm nearest}$ pero la proyección de este 3-vector al 2-plano ortogonal a $\vec n$ (el alambre).

Puede ser correcto decir que para escribir la fórmula exacta que contiene la función delta para $\vec J$ es más complicado que adivinar la segunda forma de la ley inmediatamente. Pero una virtud de este comentario es la afirmación correcta de que una fórmula para $\vec J$ que usa las funciones delta existe y la segunda forma puede derivarse de la primera si las cosas se hacen bien.

Derivación de la ley de Biot Savart para una curva

Juan Donne

Respuestas (1)

Motl de Luboš

Derivadas de la función delta de Dirac y ecuación de continuidad para una sola carga

Describir un bucle de corriente circular como funciones delta

Campo magnético Delta de Dirac

Singularidad del campo BBB en una cadena de Dirac

¿Encontrar el potencial vectorial de una capa esférica giratoria con carga superficial uniforme?

Obtención del hamiltoniano cuántico para partículas cargadas a partir de la formulación de la integral de trayectoria

Conductor hueco que contiene carga: ¿por qué el campo interno se cancela afuera y por qué el campo fuera de la cavidad es cero dentro de la cavidad?

Cálculo de la ecuación de movimiento a partir de la acción

¿Podemos resolver explícitamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula en un campo magnético uniforme?

Demuestre que ∂νTμν=−jνFμν∂νTμν=−jνFμν\partial_\nu T^{\mu\nu} = - j_\nu F^{\mu\nu}