Derivación de la densidad lagrangiana para un dieléctrico clásico infinito en interacción con el campo EM

En esta respuesta trabajamos con unidades donde la velocidad de la luz en el vacío es$c=1$y la firma de Minkowski$(-,+,+,+)$.

La densidad lagrangiana (3) se lee en unidades cgs

Consta de 3 términos:

1. Un término estándar de EM Maxwell.

2. Un término fuente con 4 corrientes acotadas

   $$J^{\mu}_b~=~(\rho_b, {\bf J}_b) ~=~(-{\bf \nabla}\cdot {\bf P},{\bf \nabla}\times {\bf M}+ \dot{\bf P}),$$ donde la magnetización${\bf M}={\bf 0}$. No hay 4 corrientes gratis.$J^{\mu}_f=0$. El término fuente dice $$A_{\mu} J^{\mu}_b~\sim~{\bf E}\cdot{\bf P}+{\bf B}\cdot{\bf M}$$ módulo un término de divergencia total, que no afecta a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

3. Un oscilador armónico con la polarización${\bf P}$como variable dinámica y con frecuencia$\omega_0$. La variación de la densidad lagrangiana (3) wrt.${\bf P}$conduce a la ecuación constitutiva

   $$\tag{4}\frac{1}{\omega_0^2}\ddot{\bf P} +{\bf P}~=~ \beta {\bf E},$$ cf. Árbitro. 1. ecuación (4) es la principal razón para agregar el tercer término en la densidad lagrangiana (3). El oscilador armónico de${\bf P}$es impulsado por el campo eléctrico${\bf E}$con una constante de acoplamiento$\beta$.

Para completar, mencionemos que la variación de la densidad lagrangiana (3) wrt. el potencial de calibre 4$A_{\mu}$conduce a las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss y Ampere).

Referencias:

1. JJ Hopfield, Teoría de la Contribución de los Excitones a la Constante Dieléctrica Compleja de los Cristales, Phys. Rev. 112 (1958) 1555 .

Estableceré constantes como$c$igual a uno

Luego comienza con el lagrangiano relativista normal,$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta} - A^\alpha J_\alpha$. Traduciendo esto a un lenguaje no relativista, obtenemos$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(E^2 - B^2) - \phi \rho + \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}$.

Ahora, en este punto, parece suponer que no hay cargas ni corrientes libres, ni magnetización. Por lo tanto, la densidad de carga microscópica es la densidad de carga ligada$\rho_b = -\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P}$, y la densidad de corriente microscópica está relacionada con los cambios en la polarización:$\mathbf{J} = \mathbf{J}_b = \partial_t \mathbf{P}$Entonces$\mathcal{L} = \frac{1}{2}(E^2 - B^2) + \phi \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P} + \mathbf{A} \cdot \partial_t \mathbf{P}$.

reconociendo$\mathbf{E} = -\partial_t \mathbf{A} - \mathbf{\nabla} \phi$(esto está apagado por un signo menos de lo que dice, no sé por qué) y$\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}$ahora tenemos$\mathcal{L} = \frac{1}{2}((\partial_t \mathbf{A} + \mathbf{\nabla} \phi)^2 - (\mathbf{\nabla} \times \mathbf{A})^2) + \phi \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{P} + \mathbf{A} \cdot \partial_t \mathbf{P}$Esto nos da los dos primeros y los dos últimos términos de su expresión hasta factores de$4 \pi$viniendo de creo que la ley de Gauss, que he estado ignorando.

Ahora no entiendo sus dos términos medios. No he leído el periódico. Cuáles son$\beta$y$\omega_0$?