¿Derivar el principio de acción estacionaria de Hamilton solo a partir de la unitaridad en la mecánica cuántica?

En esta pregunta, quiero dar una derivación del principio de acción estacionaria de Hamilton, y mi pregunta a la comunidad sería si mi argumento es defectuoso . El sistema que quiero ver es (por simplicidad) una partícula que se mueve en 1 dimensión, así que lo que puedo observar sobre esta partícula es su posición, x. Para un Tratamiento Mecánico Cuántico, asumo que el Sistema estará en superposición de muchos estados, y por lo tanto el camino a seguir es:

Suposición : Lo observable$X$está representado por un operador$\hat{X}$actuando sobre un espacio de Hilbert adecuado sobre los números complejos. Un estado del sistema es un vector (cuya norma es$1$) en este espacio de Hilbert, y su descomposición en estados propios del operador$\hat{X}$dará las probabilidades de medir los valores propios del operador.

¿También una suposición? No estoy seguro de eso: como queremos que se conserve la propabilidad, requerimos la evolución temporal del Operador$\hat{X}$ser unitario:$\dot{\hat{X}}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}(t), \hat{X}]$, con un operador aún por determinar$\hat{H}$. No estoy seguro de si esto es una suposición o no, porque la probabilidad general debe conservarse. Dado que aquí afirmo que los estados son estacionarios en el tiempo, mientras que los operadores experimentan la evolución temporal, estoy en la imagen de Heisenberg, los operadores se mueven en el tiempo, los estados no.

Definición de otro observable (que luego resultará tener propiedades similares a lo que solemos llamar "momentum"): Dado el observable$\hat{X}(t)$, definimos$\hat{F}$como generador de traducciones de$X$, lo que significa que debe mantenerse en cada momento que$[\hat{X},\hat{F}] = i\hbar$y$\dot{\hat{F}}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}(t), \hat{F}]$.

Por esa definición,$F$generará variaciones infinitesimales del número c de$X$:$\hat{X}'(t) = \hat{X}(t) + \delta X(t) = \hat{X}(t) + \frac{i}{\hbar}[\hat{F}(t)\delta X(t), \hat{X}(t)]$. Al mismo tiempo,$-\hat{X}(t)$será el generador de variaciones infinitesimales del número c de$\hat{F}$. Podemos escribir$\hat{H}(t) = \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F}, t)$(sin dar una fórmula explícita todavía, la dependencia podría no ser dependencia en absoluto).

Ahora asumo una variación de la cantidad$\dot{\hat{X}} \hat{F} - \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F})$. Con eso quiero decir

$$\delta L = \dot{(\hat{X} + \delta X)} (\hat{F}+\delta F) - \hat{\tilde{H}}(\hat{X}+\delta X, \hat{F}+ \delta F) - (\dot{\hat{X}} \hat{F} - \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F}))$$ Haciendo algunos cálculos y usando $\hat{\tilde{H}}(\hat{X}+\delta X, \hat{F})- \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F})= -\delta X \dot{\hat{F}}$(y lo mismo para $F$), llegamos a: $$\delta \hat{L}(t) = \dot{\delta X} \hat{F} + \delta X \dot{\hat{F}} = \frac{d}{dt} ( \delta X \hat{F} )$$

Elegir$\delta X(t_1) = \delta X(t_2) = 0$, llegamos a:

$$\int_{t_1}^{t_2} \delta L(t) = \delta X(t_2) \hat{F}(t_2) - \delta X (t_1) \hat{P}(t_1) = 0$$ O escrito en su forma completa: $$\delta \int_{t_1}^{t_2} \dot{\hat{X}} \hat{F} - \hat{\tilde{H}}(\hat{X}, \hat{F}) = 0$$ Dónde $\delta$significa variación de los operadores $\hat{X}$y $\hat{F}$por número c múltiplos de $\mathbb{1}$, y la variación de $\hat{X}$se supone que es 0 en los tiempos $t_1$y $t_2$. Que es exactamente el principio de acción estacionaria con una cantidad aún desconocida $F$adentro.

Luego usando$\frac{\partial \hat{\tilde{H}}}{\partial \hat{F}} = \frac{i}{\hbar}[\hat{\tilde{H}}, \hat{X}] = \dot{\hat{X}}$, uno puede realizar una Transformación de Legendre$F \rightarrow \dot{X}$, y llega al mismo principio, pero formulado para una función de Lagrange que depende de$X$,$\dot{X}$, y (posibles) derivaciones superiores.
¿Alguno de estos argumentos es inválido? ¿Hice otras suposiciones como las que se enumeran aquí?