La acción de la mecánica clásica está limitada desde abajo por la constante de Planck

Me preguntaba sobre las dimensiones de la constante de Planck ( h ) y las dimensiones de la acción, que obviamente son las mismas. Luego, un hilo de pensamiento me llevó a concluir que el principio de incertidumbre se puede establecer como "la acción mínima requerida para hacer una observación es ℏ / 2 ".

Además, el principio de acción mínima es la ley que rige para la dinámica clásica y el principio de incertidumbre es una consecuencia de las relaciones de conmutación que se establecen como postulados en la teoría de la mecánica cuántica.

Ahora, mi pregunta es si este postulado de la mecánica cuántica se puede interpretar/probar como que establece el límite para la acción, es decir | S | ≥ k h o viceversa, es decir | S | ≥ k h ⟹ Δ X Δ pag ≥ ℏ / 2 , dónde k es algún número real positivo.

No he visto que esto haya sido interpretado así. Así que esto podría ser una interpretación trivial. Si este es el caso, por favor remítame a la referencia correspondiente. Si este no es el caso, esto podría tener consecuencias para la interpretación de la acción, el principio de incertidumbre y QM en general, así que ayude a probar o refutar esta relación.

Estas son algunas de las observaciones que una respuesta puede abordar:

  1. El principio de acción mínima conduce a la formulación integral de trayectoria de Feynman de la mecánica cuántica.
  2. El principio de acción mínima conduce a la mecánica hamiltoniana clásica que se puede expresar a través de la notación de paréntesis de Poisson que corresponde directamente a los conmutadores en QM.
  3. Clásicamente, para SHM, la energía cinética y la energía potencial son las mismas durante un período de tiempo, por lo que casualmente puede parecer que la acción realizada durante un período de tiempo es 0, pero considerado con más cuidado, el Lagrangiano es una función de q y q ˙ que siguen el principio de incertidumbre por lo que la integral puede ser distinta de cero.

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En cuanto a la falta de respuestas, tengo que preguntar: ¿vale la pena investigar más a fondo esta pregunta? En caso afirmativo, ¿alguien puede señalar alguna autoridad en los fundamentos de la física cuántica? Soy un físico aficionado en este momento, trabajo solo y no sé cómo proceder.

Dudo que puedas encontrar una relación así. El valor absoluto de la acción no es una cantidad terriblemente significativa. Siempre puedo agregar una constante V 0 a mi energía potencial y esto cambiará mi acción por − V 0 ( t 1 − t 0 ) , sin cambiar el camino de mínima acción. Esto significa que puedo hacer que la acción sea tan pequeña como quiera sin cambiar nada de la física.
Nunca he visto el principio de incertidumbre expresado de esta manera, pero no veo nada malo en su interpretación. Ya sea que sea trivial o no, lo dejaré para que otros lo aborden.
Además, la acción está limitada por | S | ≤ ( t 1 − t 0 ) metro a X ( | L | ) , por lo que puedo hacer que mi acción sea muy pequeña simplemente considerando un intervalo de tiempo muy corto. Lo que dices entonces implicaría que no hay un límite clásico en tiempos suficientemente cortos. Sin embargo, no creo que esto sea cierto. La relación de incertidumbre energía-tiempo no puede tratarse de la misma manera que la relación posición-momento debido a la falta de un operador de tiempo en QM y nunca he visto un tratamiento del límite clásico que dependiera de manera obvia de las escalas de tiempo involucradas.
@BySymmetry "no hay un límite clásico en tiempos suficientemente cortos", ¿no es ese el caso generalmente cuando tomamos un tiempo infinitesimal? Además, no estoy pidiendo tratar el principio de incertidumbre de energía-tiempo igual que el de posición-momento. Pero generalice el principio de incertidumbre de esta manera para que signifique que la acción está limitada por la constante de Planck. Pero su primer comentario plantea serios problemas para la interpretación, tal vez se pueda solucionar fijando el punto cero del potencial.
@prateek Ciertamente no es obvio para mí. Si tengo un paquete de ondas razonablemente localizado con alguna posición y momento promedio, de modo que pueda aproximarme con una partícula clásica, poco tiempo después tendré un paquete de ondas muy similar que presumiblemente todavía puedo aproximar con una partícula clásica. partícula y cuya posición promedio un impulso, por el teorema de Ehrenfest, han evolucionado de acuerdo con las leyes de Newton. Esta pregunta de qué sucede en tiempos cortos se reduce a cómo interpretas la relación de incertidumbre de tiempo de energía.

Respuestas (1)

La cuantización de Bohr-Sommerfeld se basa en una relación como la que está discutiendo

∮ pag → ⋅ d q → = norte h , norte ∈ norte
donde la integral es sobre un camino cerrado en el espacio de fase, norte es un número entero y h es la constante de Planck. El lado izquierdo tiene unidades de acción.

El punto de vista moderno es que esta relación surge como consecuencia de la aproximación WKB (hasta una pequeña corrección donde norte → norte + 1 / 2 ). Sin embargo, tenga en cuenta que este enfoque solo se aplica a los sistemas vinculados.

En general, no hay límite para la acción en la mecánica cuántica. Por ejemplo, en el enfoque de integral de camino, hay una contribución de todos los caminos posibles ponderados por mi i S / ℏ , dónde S es la acción del camino, y no hay límite en la acción.

No pretendo redefinir el principio de incertidumbre solo para interpretarlo de manera un poco diferente. Además, sobre la acción, digo que si tratamos el valor absoluto de la acción como un observable cuántico, ¿sigue un límite mínimo? En el enfoque de integral de trayectoria, no hay límite en la acción, pero en ninguna parte se menciona/determina explícitamente que el cuanto de acción puede acercarse arbitrariamente a 0.
@prateek No sé exactamente lo que estás proponiendo, pero no veo la manera de que funcione. digamos que queremos ⟨ S ⟩ > k ℏ , dónde S es el "operador de acción", para algunos k . Esto no puede ser cierto en general. Piense en un potencial de pozo cuadrado atractivo. Considere una partícula con un gran impulso, por lo que pag 2 / 2 metro > V , entonces el Lagrangiano es positivo y puede ser arbitrariamente pequeño. Luego considere los estados ligados, que por definición tienen V < pag 2 / 2 metro , y también tienen Lagrangiano negativo. Podemos configurar el potencial para que el estado límite más alto sea negativo y tan cerca de cero como queramos.
calculé ⟨ | S | ⟩ i . mi . ∫ ⟨ | L | ⟩ d t , el valor esperado del valor absoluto de Lagrangian en el estado fundamental del oscilador armónico resulta ser ℏ ω 2 / π mi que es menor que la energía del estado fundamental ℏ ω / 2 . Estoy sugiriendo algo en este sentido.
@prateek Te animo a explorarlo y ver a dónde va, pero por el momento no veo ninguna razón por la que ⟨ | S | ⟩ debe tener un límite inferior.
por ejemplo, en mecánica cuántica 1d, coloque una partícula libre en un paquete de ondas gaussianas con impulso pag . Entonces el valor esperado de la acción debe ser aproximadamente pag 2 T / 2 metro dónde T es el tiempo de observación. para fijo T , puedes tomar pag ser tan pequeño como quieras y por lo tanto hacer la acción tan pequeña como quieras.
la cantidad pag 2 T / 2 metro tiene que ser mayor que ℏ / 2 debido a la incertidumbre energía-tiempo. Y para una partícula libre, Lagrangain y Hamiltonian son iguales, por lo que esto debería ser válido para ambos.
@prateek El Δ mi Δ T la relación de incertidumbre es más sutil que las otras y no se aplica directamente aquí. Por ejemplo, una partícula libre puede estar en un estado de función delta en momento (cero incertidumbre en energía), y dado que el momento se conserva para una partícula libre, este es un estado estacionario. Así que en ese caso, Δ mi = 0 , y T puede ser arbitrariamente largo o corto.
en realidad lo siento, me di cuenta de la Δ mi Δ T relación de incertidumbre es relevante. Para Δ mi = 0 , conocemos la energía exactamente, por lo que el estado es un estado estacionario, por lo que el tiempo de vida es infinito. Sin embargo, esto no nos impide tomar T , el tiempo en el que integramos la acción, para que sea tan largo o tan pequeño como queramos. Además, el valor real de la energía mi puede ser tan grande o tan pequeño como queramos. Entonces podemos organizar fácilmente un valor de acción promedio de ≪ ℏ calculando la acción de una partícula libre en un intervalo T con energia mi tal que mi T ≪ ℏ .
La acción de la mecánica clásica está limitada desde abajo por la constante de Planck
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