Derivación de la ecuación de Schwinger-Dyson en el libro Gauge/Gravity Duality: Foundations and Applications

En el libro Gauge/Gravity Duality: Foundations and Applications de M. Ammon y J. Erdmenger derivan la ecuación de Schwinger-Dyson considerando el funcional generador$J[Z]$y un cambio de variables$\phi(x) \rightarrow \widetilde{\phi}(x)= \phi(x)+\delta \phi(x)$, con$\delta\phi(x)$siendo un desplazamiento infinitesimal arbitrario. Esto conduce a la identidad

$$0=\delta Z[J]=i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\int d^dx \left(\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x) \right)\delta \phi(x)$$ El siguiente paso es entonces tomar derivadas funcionales con respecto a$J(x_i)$y configuración$J$a cero. El libro anota el resultado en la ec. 1.234 como $$0=i\left\langle \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\phi(x_1)...\phi(x_n)\right\rangle +\sum_{j=1}^n\left\langle \phi(x_1)...\phi(x_{j-1})\delta(x-x_j)\phi(x_{j+1})...\phi(x_n) \right\rangle$$ Sin embargo cuando trato de calcular las derivadas funcionales encuentro (y ahora voy al caso específico de$n=2$) $$0=\frac{\delta^2}{\delta J(x_1) \delta J(x_2)} \left[i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\int d^dx \left(\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x) \right)\delta \phi(x) \right]_{J=0}$$

$$=\frac{\delta}{\delta J(x_1)} \left[i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\int d^d\delta(x-x_2)\phi(x)\int d^dx \left(\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}+J(x) \right)\delta \phi(x)\\+i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\int d^dx \delta^d(x-x_2)\delta \phi(x) \right]_{J=0}$$

$$=\left[i\int D\phi e^{i(S+\int d^dJ(x)\phi(x)}\left( \left(\frac{\delta S}{\delta \phi(x)}+J(x)\right)\delta\phi(x)\phi(x_1)\phi(x_2)+\delta\phi(x_1)\phi(x_2)+\phi(x_1)\delta\phi(x_2) \right)\right]_{J=0}$$

$$=i\int d^dx\left\langle \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta\phi(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle +\left\langle \phi(x_1)\delta\phi(x_2)\right\rangle+\left\langle \delta\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle$$ Comparando este resultado con el libro veo que hay algunos no deseados$\delta\phi(x_i)$'s así como una integral que tampoco está en la ecuación del libro. Estoy casi seguro de que este resultado es cierto, pero falta un paso final del que no me doy cuenta. He intentado sacar la derivada funcional$\frac{\delta}{\delta(\delta\phi(y))}$, que al menos daría una función dirac-delta en todos los términos y eliminaría todos los campos desplazados$\delta\phi(x_i)$. $$0=\frac{\delta}{\delta(\delta\phi(y))}\left[i\int d^dx\left\langle \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta\phi(x)\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle +\left\langle \phi(x_1)\delta\phi(x_2)\right\rangle+\left\langle \delta\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle\right]$$ $$=i\int d^dx\left\langle \frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\delta^d(y-x)\phi(x_1)\phi(x_2)\right\rangle +\left\langle \phi(x_1)\delta(y-x_2)\right\rangle+\left\langle \delta(y-x_1)\phi(x_2)\right\rangle$$

Sin embargo, todavía no funciona completamente ya que ahora me falta un campo.$\phi(x_i)$en el segundo y tercer término. ¿Dónde me estoy equivocando aquí?