Derivada total en acción de la teoría del campo

Mira más de cerca lo que escribes. No voy a escribirlo con todas las derivadas parciales y lagrangianas, porque las confusiones no dependen de eso:

1. El requisito de infinito espacial surge porque$\int_\mathcal{M} \mathrm{d}\omega \neq \omega$, pero$\int_\mathcal{M} \mathrm{d}\omega = \int_{\partial\mathcal{M}}\omega$(Teorema de Stokes). Para que desaparezca este último término, basta que$\omega$se desvanece$\partial\mathcal{M}$. Ya que las integrales han terminado$\mathbb{R}^4$, el límite de nuestro espacio es "infinito". (Dado que uno calcularía tales integrales, por ejemplo, tomándolas sobre una bola de 4 de radio$r$y enviar eso a$\infty$.)

2. Obsérvese que, si$\mathcal{L}$es la densidad lagrangiana, es decir, a$0$-forma, entonces su derivada con respecto a$\partial_\mu\phi$es un campo vectorial, ya que tiene índices de Lorentz superiores. Y para cualquier campo vectorial$v$, la expresion$\partial_\mu v^\mu = \partial^\mu v_\mu$es exactamente la componente de la derivada del dual de Poincaré$3$-forma$v^\mu \epsilon_{\mu\nu\sigma\rho}\mathrm{d}x^\nu\wedge\mathrm{d}x^\sigma\wedge\mathrm{d}x^\rho$, es decir, la derivada del dual de Poincaré es simplemente$\partial_\mu v^\mu \mathrm{d}^4 x$(hasta las constantes soy demasiado perezoso para perseguir). Por lo tanto, la integración que es la integración de una forma exacta sobre un volumen, que, por el teorema de Stokes, se reduce a los valores límite de la$3$-forma es un derivado de. Como la dualidad es una biyección, si$v^\mu$se desvanece, también debe hacerlo su dual, justificando mirar solo el valor de$\partial_\phi \mathcal{L} \delta \phi$en el límite De manera equivalente, se podría simplemente bajar el índice de$v^\mu$conseguir un$1$-forma$v_\mu\mathrm{d}x^\mu$, aplíquele la dualidad de Hodge para obtener un$3$-form, tome la derivada de eso, y obtenga lo mismo$4$-forma con coeficiente$\partial_\mu v^\mu$.