Rotación de mechas en la teoría de campos: ¿justificación rigurosa?

1er comentario:

Vale la pena pensar por un segundo de dónde viene la rotación de Wick. Puedes hacer esto en el contexto de la mecánica cuántica de una partícula libre. En QFT, todos los detalles son más complicados, pero la idea básica es la misma.

En partículas libres, QM, obtenemos la integral de trayectoria insertando sumas sobre estados intermedios en varios momentos. La necesidad de la rotación de Wick surge tan pronto como lo haces solo una vez.

$\langle q' | e^{- \frac{ iP^2 t}{2m\hbar}}|q\rangle = \int_{-\infty}^\infty \langle q'| p \rangle \langle p |e^{- \frac{ iP^2 t}{2m\hbar}}|q\rangle dp = \frac{1}{2\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty e^{\frac{-i t }{2m\hbar} p^2 + i\frac{q' - q}{\hbar} p} dp$.

Esta es una integral oscilatoria. El integrando tiene norma 1 porque el argumento de la exponencial es puramente imaginario. Tales integrales no convergen absolutamente, por lo que el lado derecho de esta ecuación obviamente no está bien definido. No es integral de Lebesgue, aunque es convergente como una integral de Riemann, gracias a algunas cancelaciones bastante delicadas. Para hacer que la integral esté bien definida, de manera equivalente para ver cómo ocurren estas cancelaciones, necesitamos proporcionar información adicional.

La rotación de la mecha proporciona una forma de hacer esto. Observa que el lado izquierdo es analítico en$t$, y que el lado derecho está bien definido si$Im(t) < 0$. Entonces puedes definir la integral de verdad$t$diciendo que es analítico continuado de complejo$t$con parte imaginaria negativa.

2do comentario:

Como señaló V. Moretti, en QFT, en cierto sentido es al revés pensar en continuar analíticamente desde la firma de Minkowski hasta la firma euclidiana. Más bien, uno encuentra algo en la firma euclidiana que tiene buenas propiedades y luego continúa analíticamente desde Euclidiana hasta Minkowski. Sin embargo, a menudo se puede comenzar este proceso tomando una acción de Minkowski y encontrando su versión euclidiana, y luego tratando de construir una QFT a partir de ahí. Sin embargo, no hay garantía de que esto funcione. Los campos de espinor pueden tener condiciones de realidad que dependen de la firma del espacio-tiempo. O la acción euclidiana que deriva puede comportarse mal. Este es el famoso caso de la gravedad de Einstein; la acción euclidiana no está acotada por debajo, por lo que no se obtiene una teoría euclidiana sensata.

La integral de trayectoria, matemáticamente hablando, no existe como integral: no está asociada a ninguna medida positiva o compleja. Por el contrario, la integral de trayectoria euclidiana sí existe. La rotación de Wick es una forma de "construir" la integral de Feynman como un caso límite de la euclidiana bien definida. Si, en cambio, está interesado en un enfoque axiomático que conecte las funciones de n puntos de Lorentzian (verificando los axiomas de Wightman) con las funciones de n puntos euclidianas correspondientes (y viceversa ), existe una teoría bien conocida basada en el llamado Osterwalder- Teorema de reconstrucción de Schrader que discute rigurosamente la "rotación de la mecha" de manera generalizada.