Cómo resolver la integral ∫B(0,1)xy(x+z)(y+z)dxdydz∫B(0,1)xy(x+z)(y+z)dxdydz\int_{B(0, 1)} xy(x+z)(y+z)dxdydz?

Como resolver la integral

∫ B ( 0 , 1 ) X y ( X + z ) ( y + z ) d X d y d z
dónde B ( 0 , 1 ) = { ( X , y , z ) | X 2 + y 2 + z 2 < 1 } ?

Intenté usar coordenadas esféricas, pero resultó feo. Luego intenté resolver sin ninguna sustitución, pero tampoco fue tan agradable.

Pienso usar la sustitución tu = X y , v = X + z , w = y + z pero no puedo determinar el rango. Tampoco estoy seguro de si es un difeomorfismo.

¿Alguna sugerencia?

la ayuda sería apreciada

Respuestas (1)

Pista. ¡Usa la simetría! Después de expandir el producto, verá que la mayoría de los términos para integrar son "probabilidades" y su integral es cero sobre cualquier bola centrada en el origen. Queda por evaluar

∫ B ( 0 , 1 ) X 2 y 2 d X d y d z
¿Puedes tomarlo desde aquí?

¿Podría explicar cómo la integral de la función "impar" sobre la pelota es cero? en R esta claro pero aqui en R 3 , no puedo verlo claramente
Si F ( X , y , − z ) = F ( X , y , z ) entonces deja Z = − z . Entonces B ( 0 , r ) es invariante con respecto a esta transformación y ∫ B ( 0 , r ) F ( X , y , z ) d X d y d z = ∫ B ( 0 , r ) F ( X , y , − Z ) d X d y d Z = − ∫ B ( 0 , r ) F ( X , y , Z ) d X d y d Z $ lo que implica que la integral es cero.
Bien, ahora entiendo. gracias por su ayuda
Cómo resolver la integral ∫B(0,1)xy(x+z)(y+z)dxdydz∫B(0,1)xy(x+z)(y+z)dxdydz\int_{B(0, 1)} xy(x+z)(y+z)dxdydz?
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