Derivación del tensor de inercia

Estoy tratando de entender el tensor de inercia de los cuerpos rígidos, pero no entiendo muy bien cómo se deriva. Esto es lo que probé:

Considere un cuerpo rígido formado por$N$masas puntuales sobre las que actúan fuerzas tales que el centro de masa no se mueve (el cuerpo solo gira). Dejar$(b_j)_{j=1}^N \subseteq \mathbb{R^3}$ser las posiciones de las masas puntuales en algún momento y$(m_j)_{j=1}^n \subseteq \mathbb{R^+}$sus masas. Entonces la posición$x_j: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$del$j$-ésima masa puntual está dada por$x_j(t)=B(t)b_j$para algunos$B: \mathbb{R} \ni t \mapsto B(t)\in SO(3)$. El momento angular es

$$L(t)=\sum_{j=1}^{n}m_j x_j(t) \times \dot{x_j}(t)=\sum_{j=1}^{n}m_j x_j(t) \times (\omega(t) \times x_j(t)) = \sum_{j=1}^{n} m_j (||b_j||^2\omega(t) - \langle \omega(t) \ , \ B(t)b_j\rangle B(t)b_j).$$ Según tengo entendido el tensor de inercia$I \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$satisface$L(t)=I\omega(t)$. Puedo ver que para fijo$t \in \mathbb{R}$el mapa$\omega(t) \mapsto L(\omega(t))$es lineal, pero ¿por qué es$I$independiente de$B$? La expresión para$L$contiene$B(t)$aún. El tensor de inercia de un cuerpo debe ser el mismo independientemente de cómo gire.