Velocidad resultante de aplicar fuerza tangencialmente a esferas sólidas con diferentes distribuciones de masa

Para la misma energía total y la misma fuerza, el tiempo total será diferente, lo que conducirá a una velocidad de traslación diferente. Esto se debe a que la fracción de energía en la traslación frente a la rotación será diferente. Y eso afectará la cantidad de energía por vez que se necesita para proporcionar la misma fuerza.

Para igual fuerza por igual tiempo (no igual energía), la velocidad debe ser la misma. Otra forma de ver esto es imaginar que la fuerza es aplicada por alguna partícula en el borde que de alguna manera choca tangencialmente. La partícula siente una fuerza opuesta e igual y, por lo tanto, desarrolla un impulso. Las esferas, independientemente de su contenido, deben tener la misma cantidad de movimiento total opuesta, de modo que la cantidad de movimiento de la esfera + la partícula siga siendo 0. Si la fuerza es igual para el mismo tiempo (diferente del trabajo), entonces ambas esferas tienen la misma cantidad de movimiento lineal total y masa, por lo tanto, la misma velocidad de traslación.

Editar: Notas sobre la energía

Nota$Fr = I\dot{\omega}$y$F = m\dot{v}$.

$2E = I\omega^{2} + mv^2$

$2\dot{E} = 2I\omega\dot{\omega} + 2mv\dot{v}$

$= 2\omega Fr + 2vF$

$= 2F(\omega r + v)$

Qué es$\omega r + v$? La velocidad instantánea de la parte de la esfera en el mismo borde que experimenta la fuerza.

A tiempo$\Delta{}t$se mueve una distancia de$(\omega r + v)\Delta{}t$por lo que el trabajo realizado es$\dot{E}\Delta{}t = F(\omega r + v)\Delta{}t = F\Delta{}x$.

En la analogía de las partículas, tenga en cuenta que para que una corriente de partículas proporcione la misma fuerza por colisión, las partículas deben tener una velocidad más alta proporcional a la velocidad del borde$\omega{}r+v$. Requiere partículas de mayor energía para proporcionar la misma fuerza a un borde que se mueve más rápido, por lo que la conservación de energía no se rompe, es solo que la entrada de energía es mayor para proporcionar la misma$F$, en un caso en que$\omega r + v$es más alto. Pero con la Fuerza y ​​el tiempo especificados, en lugar de la energía total, intuitivamente sostiene que la velocidad de traslación de ambas esferas debería ser la misma. Con Potencia (energía/tiempo) especificado, las esferas serían diferentes, ya que tendrían la misma energía en el tiempo$t$pero una fracción diferente de la energía sería rotacional frente a traslacional.

Edición 2:

Trataré de argumentar que lo relevante$F\cdot{}s$es el borde de la pelota, no el centro de masa de la pelota, y depende de la velocidad del borde. Usemos un poste para fijar la bola para que gire sobre su centro de masa, de modo que$s_{COM}=0$. El COM claramente no se mueve. El poste que fija el COM para que no se mueva proporciona una fuerza pero no se mueve a una distancia y no realiza ningún trabajo. La fuerza$F$está girando la pelota y aumentando la energía de la pelota y haciendo trabajo sobre la pelota, pero$F \cdot s_{COM}=0$. Entonces, si creyera que la distancia relevante es la distancia COM, encontraría una contradicción. Si crees en cambio que$F\omega r dt$es la energía instantánea añadida porque el borde se mueve con velocidad$\omega r$a distancia$\omega r dt$, entonces puedes integrar.$E = \int F\omega r dt = \int F \dot{\omega}trdt = \int I\dot{\omega}^{2}tdt = \frac{1}{2}t^{2}I\dot{\omega}^{2} = \frac{1}{2}I\omega^{2}$

Asumir$\dot{\omega}t = \omega$(aceleración constante) y$Fr = I\dot{\omega}$(definición de par)

Evaluación conceptual de la situación

Primero, para proporcionar rotación (que lo hará), la fuerza necesita moverse un poco con la superficie. De lo contrario, la única energía transferida por la fuerza será a lo largo de la distancia de traslación total, que no puede explicar la energía de trabajo que creó la energía cinética angular.

A primera vista, parece que se podría suponer que esto se debe a colisiones perfectamente elásticas (elástico significa que no hay pérdida de energía durante la colisión y, por lo tanto, no se genera energía de sonido ni energía térmica, y la transferencia de energía neta del cambio en velocidad - magnitud que es - de las partículas) de un número infinito de objetos infinitesimales o de un chorro de fluido. Sin embargo, eso no funciona porque es imposible aplicar una fuerza tangencial de esa manera.

Una visión bastante razonable de cómo sucede esto es que hay una pequeña perla cargada en la bola aislante justo dentro de su superficie, y todo el experimento está en un campo eléctrico vertical. La cuenta puede moverse alrededor de la circunferencia libremente. El problema es la dinámica de la perla que transfiere impulso a la pelota. La situación del mundo real estaría cerca.

Dicho esto, como ocurre con muchos de ellos, el problema es teórico (y técnicamente imposible).

Concepto del Modelo

Dejando a un lado el mecanismo, un concepto importante es que no se puede impartir energía de rotación si la fuerza solo se mueve con la bola, es decir, tanto como (ya lo largo de una trayectoria paralela) el movimiento del centro de masa de la bola. Pero vemos que, debido al desplazamiento radial de la fuerza desde el centro, se desarrollará energía cinética angular.

Por lo tanto, el modelo conceptual debería ser que una fuerza F se mueva una distancia infinitesimal$dy$y luego vuelve a saltar por ese mismo$dy$hacerlo de nuevo, manteniéndose siempre tangencial. Tenga en cuenta que$dy$proviene tanto de la traslación como de la rotación, de modo que la fuerza está haciendo las dos cosas aparentemente contradictorias que necesitamos que haga: 1. viajar con la superficie para que pueda hacer todo el trabajo necesario (suficiente para proporcionar la energía para la rotación y la traslación) , y 2. restante vertical. Los cálculos que solo mueven la fuerza la distancia que se mueve la pelota violarán necesariamente la conservación de la energía.

Análisis

El torque es una función fija de la fuerza,$Fr$, por lo que la aceleración y la aceleración angular son ambas proporcionales a la fuerza, todo el camino. Esta proporción constante de$a$y$\alpha$significa que las velocidades angular y traslacional también estarán en la misma proporción. O, en matemáticas:

$$T=Fr=I \alpha,, F= \tfrac{I \alpha}{r}=ma$$ $$a = \frac{I}{mr} \alpha$$ $$v_0 , \omega_0 =0, a=k \alpha \implies v=k \omega, \forall t$$

(Porque$v = \int adt=\int k \alpha dt = k \omega$sin constante de integración. Al final de cualquier duración$v_f=k \omega_f$- significado$\forall t$)

Energía cinética:

$$E = \tfrac{1}{2} (mv^2+I \omega^2)= \tfrac{1}{2} [m( \frac{I}{mr} \omega)^2+I \omega^2]$$

$$= \tfrac{1}{2} (\frac{I^2}{mr^2} + I) \omega^2)$$

Por lo mismo$\omega$, la energía cinética sería mayor para el caso B, por lo que$I_A <I_B,E_A=E_B \implies \omega_A > \omega_B$. Esto no es sorprendente. Dice que la pelota con menor momento de inercia termina girando más rápido. Específicamente

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \sqrt{ \frac{ \tfrac{I_B^2}{m_Br_B^2} + I_B}{\tfrac{I_A^2}{m_Ar_A^2} + I_A}} = \sqrt{ \frac{I_B^2 + I_B m r^2}{I_A^2 + I_A m r^2}}$$ Cuando$m_A=m_B,r_A=r_B, I_A<I_B$.

reemplazando$\omega = \frac{mr}{I}v$en cambio muestra$v_A < v_B$. Y tenemos un radical y una razón similares, excepto que esta vez basados ​​en$m_i+ \tfrac{m_i^2r_i^2}{I_i}$.

notas

Hay varias cosas interesantes al comparar$m_i+\tfrac{m_i^2r_i^2}{I_i}$(que es como afectan los cambios$v$), con$I_i+\tfrac{I_i^2}{m_ir_i^2}$(cómo afectan los cambios$\omega$). Por ejemplo, ¿por qué al aumentar la masa aumentaría$\omega$para ese caso? ¿No debería una masa más grande significar que se está utilizando más energía para acelerar el objeto que antes, con menos disponible para la rotación?

Primero, una vez bajo el radical, ambos incluyen dos términos en lugar de uno para cómo decrece con sus respectivas resistencias de inercia ($m, I$). Esto se debe a que, por ejemplo, aumentar$m$(sin cambiar$I$) tiene un doble efecto sobre$v$: un efecto es porque la porción de energía que va hacia la traslación ahora tiene que acelerar una masa más grande (la$m^2$en un término), y otro efecto es el hecho de que mayor$m$hace que vaya menos energía hacia la traslación ya que la rotación se ha vuelto relativamente más fácil (la$m$término).

Es este último factor, más energía va hacia la rotación cada vez que$m$aumenta, eso hace$\omega$ aumentar si$m$sube (la$m^{-1}$término). Porque$I$no ha cambiado, cuanto mayor sea$\omega$significa una mayor energía cinética rotacional, y porque$E$no ha cambiado, también significa que una mayor proporción de energía va a la rotación. Para resumir: Creciente$m$aumenta la masa que necesitamos para acelerar linealmente y disminuye la energía que va a la traslación, el doble efecto es la intuición para$m$que aparece en dos términos en el$v$relación. lo mismo para$I$y$\omega$:$I$aparece en dos términos en$\omega$para los dos efectos, y es en un término para el efecto único en$v$.

En algún sentido$m$apareciendo dos veces en$v$la ecuación de y una vez en$\omega$hace posible que ocurra más movimiento general cuando$m$se reduce, por lo mismo$E$, (es decir, uno subirá más de lo que el otro baja). Del mismo modo para$I$. Este no es el caso con el radio. Recordando eso$I$no está cambiando y aumentando el radio, no deberíamos tener una reducción en el movimiento general. Aumentos en$r$haga que el par sea más fácil de crear, pero no aumente la energía ni disminuya la resistencia general al movimiento. Esto significa que habrá más energía destinada a la aceleración angular, pero dado que$m$y$I$No han cambiado,$v$cae una cantidad correspondiente. Por lo tanto, tenemos$r$apareciendo una sola vez en cada proporción, como$r^2$.

Las dos esferas difieren por su momento de inercia de masa y tienen la misma masa, y por lo tanto difieren por su radio de giro.$g$.

Ahora considere dónde está el centro de rotación para esta situación. En la siguiente figura, el COR está ubicado en el punto 0 .

Existe una relación especial entre la distancia al COR desde el centro de masa$a$y la distancia donde se aplica la fuerza (o impulso)$b$. Esta relación es siempre

$$\boxed{ a = \frac{g^2}{b} } \tag{1}$$

Esto significa que si el centro de masa tiene velocidad$v_A$, entonces el punto donde se aplica la fuerza debe tener velocidad$v_B = \frac{a+b}{a} v_A$o depende de la relación del radio geométrico$b$al radio de giro$g$

$$v_B = \left( 1 + \left( \tfrac{b}{g} \right)^2 \right) v_A \tag{2}$$

Análisis

Considere la fuerza aplicada por un pequeño tiempo$\Delta t$y las ecuaciones de movimiento son

$$\begin{aligned} m \frac{v_A}{\Delta t} & = F \\ (m g^2) \frac{\omega}{\Delta t} & = b F \end{aligned}$$ que produce la relación entre la velocidad lineal y rotacional $$\omega = \frac{b}{g^2} v_A \tag{3}$$

Finalmente considere la energía cinética total$K = \tfrac{1}{2} m v_A^2 + \tfrac{1}{2} I \omega^2$es igual al trabajo realizado$W=F s$dónde$s$es la distancia recorrida por la fuerza y ​​es fija para ambos escenarios.

$$F s = \tfrac{m v_A^2}{2} + \tfrac{m b^2 v_A^2}{2 g^2} \tag{4}$$

Usa (2) para resolver$v_A$y sustituya arriba. Luego resuelve para$v_B$para obtener la velocidad tangencial después de que la fuerza ha recorrido la distancia$s$como una función de$m$y$g$

$$v_B^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{b^2+g^2}{g^2} \right) \tag{5}$$

También tenga en cuenta que la velocidad del centro de masa es

$$v_A^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{g^2}{b^2+g^2} \right) \tag{6}$$

$$\omega^2 = \frac{2 F s}{m} \left( \frac{b^2}{g^2 ( b^2+g^2)} \right) \tag{7}$$

Resumen

Como radio de giro$g$aumenta ↑ (más masa hacia el exterior) ocurre lo siguiente:

• La velocidad del borde exterior disminuye ↓ (ec. 5)
• La velocidad del centro de masa aumenta ↑ (ec. 6)
• El giro disminuye ↓ (ec. 7)

La traslación del CG, que está en el centro geométrico de ambas esferas, se rige por${\bf F} = m {\bf a}$, dónde${\bf a}$rastrea el CG. Se podría decir que como ambas esferas tienen la misma masa, se trasladarán de la misma manera, pero${\bf F}$se vuelve diferente para cada esfera a medida que pasa el tiempo.

Si adjunta un vector tangente unitario${\bf e}_t$hasta el borde de la esfera, entonces${\bf F}$puede representarse como${\bf F} = F {\bf e}_t$.$F$es el mismo para cualquier esfera, pero la evolución de${\bf e}_t$dependerá de qué tan rápido gire cada esfera. La esfera con el mayor momento de inercia, por ejemplo, girará más lentamente, y así${\bf F}$Pasará más tiempo inicialmente vertical que en el caso de la otra esfera.

Por lo tanto, la traducción es diferente para cada esfera.

Editar: Lo siento, no entendí bien la pregunta. Mi respuesta es para el caso en que hay una fuerza seguidora que se aplica en el mismo punto material todo el tiempo. La pregunta era sobre una carga muerta aplicada a diferentes puntos materiales en el tiempo.