Derivación del producto vectorial a partir del álgebra de momento angular

Question

Derivación del producto vectorial a partir del álgebra de momento angular

Franco

¿Es posible derivar:

\hat{L} = \hat{r} \times \hat{pag}

$\begin{equation} \hat{L}=\hat{r}\times \hat{p} \end{equation}$ del álgebra del momento angular:

[{\hat{L}}_{i}, {\hat{L}}_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} {\hat{L}}_{k} ?

$\begin{equation} [\hat{L}_i,\hat{L}_j]=i\ \hbar\ \epsilon_{ijk}\hat{L}_k\ ? \end{equation}$ He leído en alguna parte que las relaciones de conmutación de la forma

[a_{i}, b_{j}] = ϵ_{i j k} C_{k}

$\begin{equation} [a_i,b_j]=\epsilon_{ijk} c_k \end{equation}$ admitir una "reescritura natural en términos de productos cruzados", pero no hubo detalles sobre esta declaración.

Respuestas (3)

Derivación del producto vectorial a partir del álgebra de momento angular

una mente curiosa · Answer 1

No es posible derivar el momento angular orbital $L = r \times p$ desde el $\mathfrak{so}(3)$ relaciones de conmutación solamente, ya que el operador de espín $S$ también cumple las mismas relaciones de conmutación, pero ciertamente es diferente de $r \times p$ .

Eso es exactamente lo que habría escrito, pero no sé si se necesita decir más para explicar por qué o cómo sabemos que el giro es diferente.

alto · Answer 2

He leído en alguna parte que las relaciones de conmutación de la forma
$[a_{i}, b_{j}] = ϵ_{i j k} C_{k}$ $\begin{equation} [a_i,b_j]=\epsilon_{ijk} c_k \end{equation}$ admitir una "reescritura natural en términos de productos cruzados", pero no hubo detalles sobre esta declaración.

Esta "reescritura natural" de las relaciones de conmutación canónicas para momentos angulares en términos de productos cruzados es:

\vec{j} \times \vec{j} = i \vec{j}

$\vec J \times \vec J = i\vec J$

Es decir, la "reescritura natural" se refiere a reescribir las propias relaciones de conmutación en términos de un producto cruzado, no reescribiendo un único momento angular en términos de productos cruzados de otras cantidades.

Explícitamente, para el momento angular:

\vec{j} \times \vec{j} = i \vec{j}

$\vec J \times \vec J = i\vec J$ De este modo:

ϵ_{i j k} j_{j} j_{k} = i j_{i}

$\epsilon_{ijk}J_jJ_k=iJ_i$ De este modo:

ϵ_{i yo metro} ϵ_{i j k} j_{j} j_{k} = i ϵ_{i yo metro} j_{i}

$\epsilon_{ilm}\epsilon_{ijk}J_jJ_k=i\epsilon_{ilm}J_i$ De este modo:

j_{yo} j_{metro} - j_{metro} j_{yo} = i ϵ_{i yo metro} j_{i}

$J_lJ_m-J_mJ_l=i\epsilon_{ilm}J_i$ Es decir:

[j_{yo}, j_{metro}] = i ϵ_{yo metro i} j_{i}

$[J_l,J_m]=i\epsilon_{lmi}J_i$

En términos de su "a", "b" y "c", la "reescritura natural" análoga es:

\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} = 2 \vec{C}

$\vec a\times \vec b + \vec b \times \vec a=2\vec c$

Puedes ver esto considerando:

(\vec{a} \times \vec{b})_{i} = ϵ_{i j k} a_{j} b_{k} = ϵ_{i j k} (b_{k} a_{j} + [a_{j}, b_{k}])

$(\vec a \times \vec b)_i =\epsilon_{ijk}a_jb_k=\epsilon_{ijk}(b_ka_j+[a_j,b_k])$

= - ϵ_{i k j} b_{k} a_{j} + ϵ_{i j k} [a_{j}, b_{k}]

$=-\epsilon_{ikj}b_ka_j+\epsilon_{ijk}[a_j,b_k]$

= - (\vec{b} \times \vec{a})_{i} + ϵ_{i j k} ϵ_{j k yo} C_{yo}

$=-(\vec b \times \vec a)_i+\epsilon_{ijk}\epsilon_{jkl}c_l$

= - (\vec{b} \times \vec{a})_{i} + 2 d_{i yo} C_{yo}

$=-(\vec b\times\vec a)_i+2\delta_{il}c_l$

= (- \vec{b} \times \vec{a} + 2 C)_{i}

$=(-\vec b\times \vec a +2c)_i$

Vaya, buena pregunta... lo arruiné de alguna manera... Déjame arreglarlo.

guauperrito · Answer 3

\begin{aligned} [{\hat{A}}_{i}, {\hat{B}}_{j}] & = ϵ_{i j k} {\hat{C}}_{k}, \\ {\hat{A}}_{i} {\hat{B}}_{j} - {\hat{B}}_{j} {\hat{A}}_{i} & = ϵ_{i j k} {\hat{C}}_{k}, \\ ϵ_{i j norte} ({\hat{A}}_{i} {\hat{B}}_{j} - {\hat{B}}_{j} {\hat{A}}_{i}) & = ϵ_{i j norte} ϵ_{i j k} {\hat{C}}_{k}, \\ ϵ_{i j norte} {\hat{A}}_{i} {\hat{B}}_{j} - ϵ_{i j norte} {\hat{B}}_{j} {\hat{A}}_{i} & = 2 {\hat{C}}_{norte}, \\ {(\hat{\vec{A}} \times \hat{\vec{B}})}_{norte} + {(\hat{\vec{B}} \times \hat{\vec{A}})}_{norte} & = 2 {\hat{C}}_{norte}, \\ \frac{1}{2} (\hat{\vec{A}} \times \hat{\vec{B}} + \hat{\vec{B}} \times \hat{\vec{A}}) & = \hat{\vec{C}} . \end{aligned}

$\begin{align} \left[\hat{A}_{i}, \hat{B}_{j} \right] & = \epsilon_{ijk}\hat{C}_{k}, \\[3mm] \hat{A}_{i}\hat{B}_{j} - \hat{B}_{j}\hat{A}_{i} & = \epsilon_{ijk}\hat{C}_{k}, \\[3mm] \epsilon_{ijn}\left( \hat{A}_{i}\hat{B}_{j} - \hat{B}_{j}\hat{A}_{i}\right) & = \epsilon_{ijn}\epsilon_{ijk}\hat{C}_{k}, \\[3mm] \epsilon_{ijn}\hat{A}_{i}\hat{B}_{j} - \epsilon_{ijn}\hat{B}_{j}\hat{A}_{i} & = 2\hat{C}_{n}, \\[3mm] \left(\hat{\vec{A}} \times \hat{\vec{B}}\right)_{n} + \left(\hat{\vec{B}} \times \hat{\vec{A}}\right)_{n} & = 2\hat{C}_{n}, \\[3mm] \frac{1}{2}\left(\hat{\vec{A}} \times \hat{\vec{B}} + \hat{\vec{B}} \times \hat{\vec{A}} \right) & = \hat{\vec{C}}. \end{align}$ Debido al hecho de que

ϵ_{i j n} ϵ_{i j k} = 2 δ_{n k}

$\epsilon_{ijn}\epsilon_{ijk} = 2\delta_{nk}$ .

Además del hecho de que a veces escribes explícitamente las sumas y otras veces son implícitas, no hay nada de malo en la derivación. Probablemente la gente esté votando negativamente porque no hay un texto explicativo que acompañe las ecuaciones... o tal vez lo explícito/implícito sea confuso...

Derivación del producto vectorial a partir del álgebra de momento angular

Franco

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