¿Por qué el operador de subida y bajada no afecta el momento angular total?

Mis notas definen:

$$L_{\pm} = L_{x} \pm i L_{y}$$

y estados:

$$[L_{z},L_{\pm}] = \pm \hbar L_{\pm}$$

Estoy bien con esto, ya que es fácil mostrar el resultado con un poco de álgebra fea.

Luego dice:

Dado que cada componente del momento angular conmuta con$L^2$podemos deducir que la acción de$L_±$en$|a, b>$no puede afectar el valor de a en relación con la magnitud del momento angular.

Estoy feliz de conectar cosas para probarlo, pero quiero ver cómo deducirlo si es posible.

Entiendo que $L^2$viaja con $L_\pm$porque $L^2$viaja con el individuo $L_x$y $L_y$que conforman $L_\pm$, pero no veo por qué eso significa que no puede afectar la magnitud.

Se pueden conocer dos operadores que viajan al trabajo simultáneamente, pero eso no ayuda porque el operador de escalera no es hermitiano, por lo que no es observable.

¡Cualquier ayuda apreciada!

EDITAR: Lo tengo.

$$[L^2 , L_i] = 0$$ entonces $$L^2 ( L_\pm | a, b > ) = L_\pm (L^2 |a, b>) = a L_\pm |a, b>$$

Olvidé la propiedad fundamental de que los operadores de desplazamiento... conmutan.