Conjunto de desplazamiento simultáneo

Por razones prácticas, a los físicos les gusta etiquetar los estados del sistema mediante un conjunto de "números cuánticos". Técnicamente, esto significa que está buscando un conjunto de operadores hermitianos que se conmutan mutuamente de manera que: (i) Cada vector de la base de vectores propios comunes de estos operadores se caracterice únicamente por el conjunto de valores propios (es decir, los números cuánticos mencionados anteriormente); (ii) El conjunto de operadores es mínimo en el sentido de que al eliminar cualquiera de los operadores, se pierde la propiedad (i). La primera condición implica que su conjunto de operadores está completo mientras que la segunda que no hay redundancias. Dado que normalmente desea utilizar los números cuánticos para etiquetar los estados estacionarios, es decir, los estados propios del hamiltoniano,

Ahora es obvio que para cualquier sistema dado y su espacio de Hilbert, hay muchos conjuntos de operadores que satisfacen las dos condiciones anteriores. En principio, puede encontrar su propio conjunto de operadores utilizando el siguiente algoritmo. Elija cualquier operador (hermitiano)$A$y determinar su espectro. Si no hay degeneración, ya está. De lo contrario, agregue otro operador$B$que viaja con$A$tal que hay un par de vectores propios comunes con los mismos valores propios de$A$pero diferentes valores propios de$B$. (Esto garantiza que mejorará su "resolución" en la especificación de los vectores propios por el conjunto de valores propios.) Si no hay dos vectores propios para los cuales ambos$A$y$B$tienen el mismo valor propio, ya está. De lo contrario, repita el paso anterior.

Debe enfatizarse que la noción de un conjunto completo de operadores de conmutación introducidos de esta manera es un poco vaga. Por ejemplo, no dice cuántos operadores necesita para formar un conjunto completo en un espacio de Hilbert dado. De hecho, como señaló Willie Wong en su comentario, un operador es en principio suficiente en un espacio de Hilbert separable. Aquí hay quizás un ejemplo un poco menos abstracto. Sabes que los estados de un sistema de espín se pueden caracterizar especificando simultáneamente los valores de$\vec L^2$y$L_z$. (No tengo en cuenta los grados de libertad orbitales para que estos dos operadores sean suficientes). Sin embargo, también se puede tomar el operador$\vec L^2+\alpha L_z$dónde$\alpha$es un número irracional arbitrario . Puede convencerse fácilmente de que el valor propio de este único operador es suficiente para etiquetar de forma única todos los estados$|l,m\rangle$.

En cuanto a su segunda pregunta, simplemente lo remitiría a cualquier libro de texto sobre mecánica cuántica. El hecho de que los valores propios de$\vec L^2$y$L_z$coje la forma$\hbar l(l+1)$(dónde$l$es un entero no negativo o medio entero) y$\hbar m$dónde$m\in\{-l,-l+1,\dots,l-1,l\}$, no es simplemente una cuestión de definición, sino que se sigue de la relación de conmutación para el operador de momento angular,