Derivación de OPE conforme en D>2

Question

Derivación de OPE conforme en D>2

Física
teoría cuántica de campos
funciones de correlación
teoría del campo conforme

Levitt

La expansión del producto del operador dice que el producto de dos campos primarios (de la misma dimensión en este caso) se puede expandir como la suma de los primarios y sus descendientes.

ϕ_{1} (X) ϕ_{2} (0) = Σ_{O} λ_{O} C_{O} (X, \partial_{y}) O (y) |_{y = 0}

$\phi_1(x)\phi_2(0) = {\Large \Sigma_\mathcal{O}}\lambda_\mathcal{O}C_\mathcal{O}(x,\partial_y)\mathcal{O}(y)|_{y=0}$ donde la suma

Σ_{O}

$\Sigma_\mathcal{O}$ está sobre las primarias. Los descensos aparecen cuando actúan sobre ellos los derivados en

C_{O} (x, \partial_{y})

$C_\mathcal{O}(x,\partial_y)$ . Considerando la función de tres puntos y como sabemos que las funciones de dos puntos son diagonales, obtenemos,

⟨ ϕ_{1} (X) ϕ_{2} (0) Φ (z) ⟩ = λ_{Φ} C_{Φ} (X, \partial_{y}) ⟨ Φ (y) |_{y = 0} Φ (z) ⟩ (1)

$\begin{equation}\langle\phi_1(x)\phi_2(0)\Phi(z)\rangle = \lambda_\Phi C_\Phi(x,\partial_y)\langle\Phi(y)|_{y=0}\Phi(z)\rangle \hspace{0.2cm} (1) \end{equation}$

Ahora usando formas conocidas de funciones de dos y tres puntos a continuación

⟨ ϕ_{1} (X) ϕ_{2} (X_{2}) Φ (X_{3}) ⟩ = \frac{λ_{Φ}}{| X_{12} |^{Δ_{1} + Δ_{2} - Δ_{3}} | X_{23} |^{Δ_{2} + Δ_{3} - Δ_{1}} | X_{13} |^{Δ_{1} + Δ_{3} - Δ_{2}}}

$\langle\phi_1(x)\phi_2(x_2)\Phi(x_3)\rangle = \frac{\lambda_\Phi }{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3}|x_{23}|^{\Delta_2+\Delta_3-\Delta_1}|x_{13}|^{\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2}}$

⟨ Φ (y) Φ (z) ⟩ = \frac{1}{| y - z |^{2 Δ_{Φ}}}

$\langle \Phi(y)\Phi(z)\rangle = \frac{1}{|y-z|^{2\Delta_\Phi}}$

se supone que uno debe arreglar las constantes $\alpha, \beta$ en $C_\Phi(x,\partial_y)$ al asumir una forma

C_{Φ} (X, \partial_{y}) = \frac{1}{| X |^{2 Δ - Δ_{Φ}}} [1 + \frac{1}{2} X^{m} \partial_{m} + α X^{m} X^{v} \partial_{m} \partial_{v} + β X^{2} \partial^{2} + . . .]

$C_\Phi(x,\partial_y) = \frac{1}{|x|^{2\Delta -\Delta_\Phi}}\Big[1+ \frac{1}{2}x^\mu\partial_\mu + \alpha x^\mu x^\nu \partial_\mu\partial_\nu + \beta x^2\partial^2 + ...\Big]$ Aquí, las dimensiones de

ϕ_{1}

$\phi_1$ y

ϕ_{2}

$\phi_2$ son cada uno

Δ

$\Delta$ y el de

Φ

$\Phi$ es

Δ_{Φ}

$\Delta_\Phi$ . Ahora puedo ver usando la función de tres puntos con inserciones en

x, 0, z

$x,0,z$ en la LHS de (1) es

⟨ ϕ_{1} (X) ϕ_{2} (0) Φ (z) ⟩ = \frac{λ_{Φ}}{| X |^{2 Δ - Δ_{ϕ}} | z |^{Δ_{Φ}} | z - X |^{Δ_{Φ}}}

$\langle\phi_1(x)\phi_2(0)\Phi(z)\rangle = \frac{\lambda_\Phi }{|x|^{2\Delta -\Delta_\phi}|z|^{\Delta_\Phi}|z-x|^{\Delta_\Phi}}$ el término principal cuando se expande sobre

x

$x$ ,

\frac{λ_{Φ}}{| x |^{2 Δ - Δ_{ϕ}} | z |^{2 Δ_{Φ}}}

$\frac{\lambda_\Phi }{|x|^{2\Delta -\Delta_\phi}|z|^{2\Delta_{\Phi}}}$ coincide con la derecha de la ec. (1) pero no puedo averiguar cómo encontrar los coeficientes de los términos de orden superior. Me encuentro tratando de evaluar una expansión binomial de

| z - x |^{Δ_{Φ}}

$|z-x|^{\Delta_\Phi}$ donde ahora están los puntos

D

$D$ espacio dimensional y que no soy capaz de hacer. Solo estoy tratando de llegar hasta dos pedidos. Cualquier ayuda es apreciada.

Abdelmalek Abdesselam

buscar Gegenbauer o polinomios ultraesféricos que se necesitan para su expansión de Taylor en forma arbitraria

D

$D$ y para la dimensión de escala arbitraria

Δ_{Φ}

$\Delta_{\Phi}$ .

Respuestas (1)

Derivación de OPE conforme en D>2

buscar Gegenbauer o polinomios ultraesféricos que se necesitan para su expansión de Taylor en forma arbitraria $D$ y para la dimensión de escala arbitraria $\Delta_{\Phi}$ .

Pedro Kravchuk · Answer 1

Así es como se evalúa la serie para

\frac{1}{| z - X |^{Δ_{ϕ}}}

$\frac{1}{|z-x|^{\Delta_\phi}}$ Para pequeños

x

$x$ . Primero, sacas

| z |

$|z|$ ,

\frac{1}{| z |^{Δ_{ϕ}} | mi - ξ |^{Δ_{ϕ}}},

$\frac{1}{|z|^{\Delta_\phi}|e-\xi|^{\Delta_\phi}},$ dónde

e = \frac{z}{| z |}

$e=\frac{z}{|z|}$ , escribir

ξ = \frac{x}{| z |}

$\xi=\frac{x}{|z|}$ y ahora trabaja con

\frac{1}{| mi - ξ |^{Δ_{ϕ}}} = {[\frac{1}{(mi - ξ)^{2}}]}^{Δ_{ϕ} / 2},

$\frac{1}{|e-\xi|^{\Delta_\phi}}=\left[\frac{1}{(e-\xi)^2}\right]^{\Delta_\phi/2},$ Usando

(e - ξ)^{2} = 1 - 2 (e \cdot ξ) + ξ^{2}

$(e-\xi)^2=1-2(e\cdot\xi)+\xi^2$ y reemplazando

ξ \to ϵ ξ

$\xi\to\epsilon\xi$ para rastrear el pedido que obtienes solo

{[\frac{1}{1 - 2 ϵ (mi \cdot ξ) + ϵ^{2} ξ^{2}}]}^{Δ_{ϕ} / 2},

$\left[\frac{1}{1-2\epsilon(e\cdot\xi)+\epsilon^2\xi^2}\right]^{\Delta_\phi/2},$ que ahora es solo una función habitual del argumento escalar

ϵ

$\epsilon$ , que puedes expandir en potencias de

ϵ

$\epsilon$ a mano o usando Mathematica. Para obtener la respuesta general, establezca

ϵ = t / | ξ |

$\epsilon=t/|\xi|$ y obten

{[\frac{1}{1 - 2 t \frac{(mi \cdot ξ)}{| ξ |} + t^{2}}]}^{Δ_{ϕ} / 2} = \sum_{j = 0}^{\infty} C_{j}^{(Δ_{ϕ} / 2)} (\frac{mi \cdot ξ}{| ξ |}) t^{j} = \sum_{j = 0}^{\infty} C_{j}^{(Δ_{ϕ} / 2)} (\frac{mi \cdot ξ}{| ξ |}) | ξ |^{j} ϵ^{j},

$\left[\frac{1}{1-2t\frac{(e\cdot\xi)}{|\xi|}+t^2}\right]^{\Delta_\phi/2}=\sum_{j=0}^\infty C^{(\Delta_\phi/2)}_j\left(\frac{e\cdot\xi}{|\xi|}\right)t^j=\sum_{j=0}^\infty C^{(\Delta_\phi/2)}_j\left(\frac{e\cdot\xi}{|\xi|}\right)|\xi|^j\epsilon^j,$ por definición de los polinomios de Gegenbauer, como señaló Abdelmalek Abdesselam.

¿No puedes Taylor expandir la fracción? Tengo el mismo problema pero no entiendo muy bien tu respuesta final.
@chillyspangko, Taylor puede expandir la fracción y encontrará que los coeficientes frente a las potencias $t^j$ son los polinomios de Gegenbauer. Una definición de los polinomios de Gegenbauer es que son precisamente los coeficientes de esta expansión.

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Levitt

Abdelmalek Abdesselam

Respuestas (1)

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