¿De qué manera se precesiona un trompo simétrico y por qué?

Trato de escribir las ecuaciones de movimiento para su caso, comenzando con la matriz rotacional

$$R=R_x(\theta)R_y(\beta)R_z(\Omega\,t)\tag 1$$

dónde$\Omega$es la rotación de la tierra y t el tiempo

$$R_x(\theta)=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left( \theta \right) &-\sin \left( \theta \right) \\ 0& \sin \left( \theta \right) &\cos \left( \theta \right) \end {array} \right]$$ $$R_y(\beta)= \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) &0&\sin \left( \beta \right) \\ 0&1&0\\ -\sin \left( \beta \right) &0&\cos \left( \beta \right) \end {array} \right]$$ $$R_z(\Omega\,t)=\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \Omega\,t \right) &-\sin \left( \Omega\,t \right) &0\\ \sin \left( \Omega\,t \right) &\cos \left( \Omega\,t \right) &0\\ 0&0&1 \end {array} \right]$$

La ecuación de Euler:

$$\Theta\,\vec{\dot{\omega}}+\vec{\omega}\times \left(\Theta\,\vec{\omega}\right)=\vec{\tau}\tag 2$$

dónde$\Theta$es el tensor de inercia y$\vec{\tau}$pares auxiliares :

$$\vec{\tau}=\begin{bmatrix} G \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$$

con la ecuación (1) obtienes la velocidad angular (los componentes están en el marco fijo del cuerpo).

con:$\dot{R}=R\,\tilde{\omega}$, dónde$\tilde{\omega}$es una matriz sesgada

$\Rightarrow$

$$\vec{\omega}=J_R\,\vec{\dot{q}}= \left[ \begin {array}{cc} \cos \left( \beta \right) \cos \left( \Omega\,t \right) &\sin \left( \Omega\,t \right) \\ -\cos \left( \beta \right) \sin \left( \Omega\,t \right) &\cos \left( \Omega\,t \right) \\\sin \left( \beta \right) &0 \end {array} \right] \,\begin{bmatrix} \dot{\theta} \\ \dot{\beta} \\ \end{bmatrix}+\left[ \begin {array}{c} 0\\ 0\\ \Omega\end {array} \right] \tag 3$$

con el vector de coordenadas generalizadas$\vec{q}=\left[\theta\,,\beta\right]^T$podemos obtener con la ecuación (3)

$$\vec{\dot{\omega}}=J_R\vec{\ddot{q}}+ \frac{\partial\vec{\omega}}{\partial\vec{q}}\vec{\dot{q}}+\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t}\tag 4$$

con$\vec{\dot{\omega}}$ecuación (4) y$\vec{\omega}$ecuación (3) en la ecuación (2) obtienes las ecuaciones de movimientos para las coordenadas generalizadas$\vec{\ddot{q}}$

Resultados de la simulación

1) la flecha azul es la posición inicial del eje z

2) flecha roja

3) flecha verde

4) flecha dorada

5) posición final flecha negra

La respuesta se ha dado en los comentarios, pero aquí está más completa.

Cuando un momento angular$\bf J$cambia de dirección, se debe a un par$\bf G$. La ecuación del movimiento es

$${\bf G} = \frac{ {\rm d} \bf J}{{\rm d} t}$$ En el caso de la precesión, se tiene un par$\bf G$cuya dirección cambia a medida que$\bf J$hace. Por ejemplo, para un trompo que descansa sobre un piso horizontal, la combinación de la gravedad y la reacción normal del piso hace que el momento de torsión sea siempre perpendicular a$\bf J$ y paralelo al suelo . Necesitamos ambas propiedades para fijar el eje alrededor del cual ocurre la precesión. El eje tiene que ser perpendicular al suelo en este ejemplo.

En el caso de la Tierra y el Sol hay dos aspectos a considerar. En una primera aproximación, no hay torsión en absoluto, porque si tratamos a la Tierra como un cuerpo rígido, la gravedad del Sol actúa a través del centro de masa y el movimiento orbital lo equilibra. Es decir, en un marco unido a la Tierra aparece una fuerza centrífuga que es lo suficientemente fuerte como para equilibrar la gravedad del Sol.$G M m/r^2$de modo que la Tierra no acelera en este marco, pero ambas fuerzas actúan a través del centro de masa, sin formar un par neto.

Luego, como se dijo en los comentarios, el efecto de marea entra en juego, ya que la gravedad del Sol (y la Luna) se enfrenta al abultamiento ecuatorial de la Tierra. Estos efectos generan fuerzas adicionales cuya dirección produce un par paralelo al plano de la órbita, tratando de 'enderezar' la inclinación de la Tierra. Por lo tanto, el eje alrededor del cual ocurre la precesión es perpendicular al plano de la órbita.

Para resumir, la respuesta a la pregunta tiene que ver con la forma en que evoluciona la dirección del par de torsión a medida que lo hace el momento angular. En particular, si el momento de torsión es siempre paralelo al plano de la órbita, entonces la componente del momento angular perpendicular al plano de la órbita es una constante del movimiento.