Esfera rodando un paso [cerrado]

Una esfera de radio R rueda sin deslizarse con una velocidad v y choca inelásticamente con un escalón de altura h < R. ¿Cuál es la velocidad mínima con la que la esfera estará sobre el escalón?

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Ecuaciones relevantes

Energía cinética total (tal vez): 1 2 I ω 2 + 1 2 metro v 2

Energía potencial gravitacional: metro gramo h

Momento de inercia respecto a un punto a una distancia d del CM del centro de masa: I = I C metro + metro d 2
Rodando sin resbalar

v = ω R

Una discusión del problema Este problema es confuso para mí: sé que la colisión es inelástica, por lo que no hay conservación de la energía cinética, hay un momento de torsión cuando la esfera gira el escalón, por lo que el momento angular tampoco se conserva, el momento lineal no se conserva Doy mucha información y aunque traté de ver qué condición necesita el torque sobre el punto de pivote (para dar un torque neto en la dirección de rotación y así pasar el paso), no puedo ver qué torque puede superar el de la gravedad que no deja que la esfera se deslice hacia arriba:

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La esfera tiene una velocidad angular, pero me falta algo conceptual porque no puedo entender cómo establecer formalmente que el momento angular cambió la cantidad correcta para que la esfera pasara el paso.

El intento de solución

Mi intento (casi seguro que erróneo) fue decir que la esfera perdió energía cinética debido al cambio en la energía potencial:

1 2 I ω 2 + 1 2 metro v 2 + metro gramo R = metro gramo ( R + h ) v = 10 7 gramo h

Espero que puedas ayudarme :)

¿Estás seguro de que la colisión es inelástica?
La parte difícil es averiguar cómo se mueve la esfera inmediatamente después de hacer contacto con el escalón. No se dice claramente. La velocidad del punto en contacto es 0 . Supongamos que el escalón fuera más alto que la esfera. ¿El problema es que la esfera perdería toda su velocidad de avance, pero seguiría girando a la misma velocidad? Como no resbala, entonces adquiriría una velocidad vertical y rodaría por la pared.
Su solución asume que no se pierde KE durante la colisión con el paso. Sin embargo, como se indica en la pregunta, esta colisión es completamente inelástica: la velocidad relativa entre la esfera y el paso normal a la superficie común se vuelve cero. Entonces, se pierde algo de KE antes de que la esfera comience a rodar alrededor del punto de contacto.
Sí, me di cuenta de eso, simplemente no estaba pensando en el problema de la manera correcta, la palabra colisión tiene muchas consideraciones que mi enfoque "estático" no considera.
La pregunta puede ser una tarea, pero es de alta calidad e interesante.
Una pregunta estándar del examen de calificación de doctorado que puede volver loco a uno en la condición del examen.

Respuestas (2)

El momento angular se puede conservar pero solo bajo ciertas condiciones.

El momento angular justo antes de la colisión sobre un punto = momento angular justo después de la colisión sobre el mismo punto.

Por lo tanto, conservaremos el momento angular sobre la punta de la elevación (como se muestra en la segunda imagen).

Momento angular respecto a un punto externo en traslación y rotación combinadas = L C o metro + metro v r S i norte θ

L 1 = metro v ( R − h ) + I ω
L 2 = ( I + metro R 2 ) ω 2
L 1 = L 2
también , ω = v R (pura rodadura)

metro v ( R − h ) + I ω = ( I + metro R 2 ) ω 2
ω 2 = metro v ( R − h ) + I ω I + metro R 2

Ahora, la energía cinética justo después de la colisión debería ser suficiente para elevar la esfera h.

1 2 ( I + metro R 2 ) ω 2 2 = metro gramo h

Gracias, estaba teniendo dificultades con la conservación del momento angular porque en una configuración estática hay un par. Pero @Farcher y tú dejaron en claro que tengo que pensar en ello como una colisión y puedo ignorar ese par. También en la última ecuación debe ser . . . = metro gramo ( R + h ) ¿bien?
Un placer, David. Aunque creo que la última ecuación debería seguir siendo mgh, ya que la energía potencial inicial era mgR y la energía potencial final es mg(R+h), por lo que la diferencia será mgh.
Sí, me perdí la energía potencial faltante a la izquierda.

Necesita usar la conservación del momento angular y la conservación de la energía, pero necesita una justificación para su uso.

Cuando la esfera golpea el escalón, hay tres fuerzas que actúan sobre ella.

  • El peso de la esfera.
  • La reacción normal del paso sobre la esfera.
  • La fuerza de rozamiento sobre la esfera.

En términos de observar los momentos de torsión sobre el punto de contacto de la esfera y el paso que actúa sobre la esfera, no tuvo dificultad en eliminar la fuerza normal y la fuerza de fricción en el sentido de que no ejercen un momento de torsión sobre el punto de contacto.

Al igual que con muchos problemas de tipo colisión, debe darse cuenta de que las fuerzas normales y la fuerza de fricción son fuerzas impulsivas, mientras que el peso no lo es.
Entonces, la suposición que se hace es que la "colisión" ocurre en un período de tiempo muy corto y que las fuerzas impulsivas son mucho mayores que el peso de la esfera.
Esto, a su vez, significa que el impulso debido al peso durante el período de la "colisión" es muy pequeño y puede despreciarse.
He tratado de mostrar esto aquí.

Entonces, debido a que la "colisión" entre el escalón y la esfera tiene lugar en un período de tiempo tan corto, el par impulsivo debido al peso de la esfera puede despreciarse y puede usarse la conservación del momento angular en el punto de contacto.

Inmediatamente después de la "colisión" entre la esfera y el escalón, se supone que no hay deslizamiento entre la esfera y el escalón, por lo que la fuerza de reacción normal y la fuerza de fricción entre la esfera y el escalón no funcionan porque esas fuerzas no se mueven.
Entonces, la única fuerza que debe considerar es el peso de la esfera que actúa en el centro de masa de la esfera.
Luego puede usar la conservación de la energía para equiparar el trabajo realizado por el peso (o el cambio en la energía potencial gravitatoria de la esfera y el sistema terrestre) con el cambio en la energía cinética de la esfera.

¿La fuerza de fricción entre la esfera y el escalón no aplica un momento de torsión impulsivo y nos impide utilizar la conservación del momento angular?
La fuerza de fricción actúa en el punto sobre el cual se calcula el par, la parte superior del escalón.
oh lo siento mi mal.
Muchas gracias, su respuesta compiló todo lo que me confundió al pensar en el problema. Había muchas condiciones a tener en cuenta porque, como usted señaló, también debe asumir que no hay deslizamiento después de la colisión, lo que para mí es una suposición descabellada. Gracias de nuevo.
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