Una prueba típica de la contracción de Lorentz se basa en el axioma de que "la velocidad de la luz es constante" y es la siguiente. Dado:

• Marco$F_1$se mueve a gran velocidad$v$en relación con el marco$F_0$. En el marco de$F_1$sentarse 2 espejos paralelos.
• La distancia entre los espejos se mide como$l_0$en$F_1$(en reposo con respecto a los espejos).
• La distancia entre los espejos se mide como$l$en$F_0$(mientras los espejos pasan en$F_1$a velocidad$v$).
• Tiempo para que la luz haga un "viaje de ida y vuelta" entre espejos medido como$t_0$en$F_1$(en reposo con respecto a los espejos).
• Tiempo para que la luz haga un "viaje de ida y vuelta" entre espejos medido como$t$en$F_0$(mientras los espejos pasan en$F_1$a velocidad$v$).
• Ya probado$t = \frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma t_0$(dilatación del tiempo).

Un "viaje de ida y vuelta" de la luz que pasa entre los espejos toma dos viajes; medido desde$F_0$, esos viajes toman tiempos$t_1$y$t_2$. Durante esos viajes, el barco viaja$vt_1$y$vt_2$, que significa que la luz viaja$l+vt_1$y$l-vt_2$cuando la luz se mueve en la misma dirección y en direcciones opuestas a$F_1$, respectivamente, todos medidos en$F_0$. La constancia de la velocidad de la luz da:

• Viaje 1 (la luz se mueve en la misma dirección que$F_1$relativo a$F_0$):$c = \frac{l + vt_1}{t_1}$ $\Rightarrow$ $t_1 = \frac{l}{c-v}$
• Viaje 2 (la luz se mueve en dirección opuesta a la$F_1$relativo a$F_0$):$c = \frac{l - vt_2}{t_2}$ $\Rightarrow$ $t_2 = \frac{l}{c+v}$
• Entonces,$\color{red}{t = t_1 + t_2 = \frac{l}{c-v} + \frac{l}{c+v} =\frac{2lc}{c^2-v^2}= \frac{2l/c}{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{2\gamma^2}{c} l}$.

Medido en$F_1$, la distancia de "ida y vuelta" es simplemente$2l_0$, y entonces$c=\frac{2l_0}{t_0} \Rightarrow t_0 = \frac{2l_0}{c}$.

Combinando esto con la dilatación del tiempo se obtiene$t=\gamma t_0 = \gamma\frac{2l_0}{c} = \frac{2\gamma}{c}l_0$.

Juntando todo se obtiene

Pregunta:

¿Puedo acortar esta prueba para usar "un viaje" entre los espejos en lugar de un "viaje de ida y vuelta"? ¡Lo he intentado y no puedo! I$\color{red}{\text{have highlighted in red}}$la parte de la prueba donde el viaje de ida y vuelta produce una buena cancelación.

¿Qué me estoy perdiendo?

• Hay pruebas que se basan en axiomas distintos de "la velocidad de la luz es constante", pero estoy buscando una prueba que solo se base en eso.

• La prueba típica para la dilatación del tiempo.$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$implica el rebote de la luz entre dos espejos que son PERPENDICULARES al movimiento de los marcos de referencia. Pasé por esta prueba, y absolutamente NO se descompone cuando solo se considera un viaje entre los espejos. La prueba en esta pregunta involucra espejos separados por una distancia PARALELA al movimiento de los marcos de referencia.

• Si "ida y vuelta" no está claro, aquí hay dos animaciones, cada una de las cuales representa dos "ida y vuelta":

Primera imagen hecha por mi. Segunda imagen de Help Me Gain an Intuitive Understanding of Lorentz Contraction , que pasa por esta misma prueba basada en que la velocidad de la luz es constante.

Una prueba que he visto para la dilatación del tiempo es la siguiente, y solo parece requerir un solo viaje de un haz de luz:

Supongamos un par de espejos separados por la distancia$L$está pasando a gran velocidad$v$, tal que el desplazamiento entre los espejos es perpendicular al movimiento de los espejos. En el marco de referencia de los espejos, la luz que rebota entre los espejos recorre una distancia$L$en$t_0$segundos a la velocidad$c=\frac{L}{t_0}$. En el marco de referencia con respecto al cual los espejos se mueven a la velocidad$v$, sin embargo, la luz que rebota entre los espejos lleva tiempo$t$hacerlo y viajar$\sqrt{(vt)^2 + L^2}$. Entonces,$c = \frac{\sqrt{(vt)^2 + L^2}}{t}$también porque la velocidad de la luz es constante para todos los observadores. Resolviendo para$t$y sustituyendo$t_0=\frac{L}{c}$rendimientos$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

La imagen utilizada es de cómo hacer el rayo láser en un marco de referencia en movimiento pero con una pelota